Champ de Deligne-Mumford
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Pourquoi an algebraic space est un Deligne-Mumford stack ?
Pour moi, un espace algébrique est, à la différence d'un schéma qui s'identifie à un faisceau sur un site d'anneaux commutatifs muni de la topologie de Zariski, est un faisceau défini sur un site étale. Etes vous d'accord ?
Pourquoi, alors, c'est un Deligne-Mumford stack ?
Merci d'avance.
Edit : Titre modifié.
Pourquoi an algebraic space est un Deligne-Mumford stack ?
Pour moi, un espace algébrique est, à la différence d'un schéma qui s'identifie à un faisceau sur un site d'anneaux commutatifs muni de la topologie de Zariski, est un faisceau défini sur un site étale. Etes vous d'accord ?
Pourquoi, alors, c'est un Deligne-Mumford stack ?
Merci d'avance.
Edit : Titre modifié.
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Réponses
Sinon je ne peux pas trop t'aider mais peut-être que quelqu'un de compétent va passer bientôt j'espère !
Merci d'avance.
Est ce que c'est un projet en cours d'achèvement, ou bien, il n'a meme pas encore vu le jour depuis qu'on a commencé à en parler par Grothendieck ?
Il y'a rien sur le net malheureusement sur ce sujet. J'apprends depuis peu qu'un tel projet existe, mais existe où ? C'est obscure cette histoire autour de ce projet.
Sur le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Grothendieck , paragraphe : Manuscrits écrits pendant les années $1980 $, on trouve le passage suivant :
En 1983, stimulé par la correspondance avec Ronald Brown et Tim Porter à l'Université de Bangor, Grothendieck a écrit un manuscrit en anglais de 600 pages intitulé Pursuing Stacks (À la Poursuite des Champs (en)), en commençant par une lettre adressée à Daniel Quillen ...
Où je peux trouver en ligne ce manuscrit de 600 page intitulé Pursuing Stacks dont il est question dans ce paragraphe ?
Merci d'avance.
Le livre (au point où il en est actuellement) est téléchargeable ici : https://stacks.math.columbia.edu/download/book.pdf
Il fait près de 7000 pages pour l'instant.
Bonne lecture, Pablo.
Une fois qu'on a compris deux ou trois exemples non-triviaux pertinents c'est facile de généraliser.
Un exemple de recouvrement étale c'est $V(y^2-x^3-x)-(0,0)\to \C^*, (x,y)\mapsto x$. En terme de variétés complexes, cette fonction est un isomorphisme local, elle donne des cartes locales de la courbe elliptique $V(y^2-x^3-x)-(0,0)$, donc ça définit une structure de variété complexe dessus, et vice versa, elle donne des cartes de $\C^*$.
Les stack c'est pour algébriser cette idée (je n'en sais pas plus).
La théorie des stacks a été inventé principalement afin de trouver des solutions a certains moduli problems lorsqu'ils n'admettent pas des moduli spaces comme solutions ( Je peux t'en donner un exemple si tu veux portant sur les courbes elliptiques ). Alors, les ''algebraic stacks'' qui sont une généralisation de la notion de ''schémas'' dans une $ 2 $ - catégorie se sont révélés efficaces pour résoudre ces moduli problems. Les algebraix stacks, si tu veux, on peut les appeler $ 2 $ -schemes ( mais je ne sais pas si on peut l'appeler ainsi. C'est juste pour assimiler les choses ).
Bref :
Un stack est un $ 2 $ - sheaf.
Un algebraic stack est un $ 2 $ - scheme.
Et un algebraic stack s'identifie à un stack par le $ 2 $ - Yoneda lemma.
Edit : Merci Guego pour ton lien. :-)
Pablo, tu pourrais parler en français .?
Cordialement,
Rescassol
L'ensemble des $(a,b)\in \C^2-\Delta$ tels que $E_{a,b}:y^2=x^3+ax+b$ est une courbe elliptique, où $\Delta =\{ (a,b),4a^3-27b^2=0\}$, quotienté par l'action de $\C^* $ induite par $(x,y)\to (l^2x,l^3y)$ donc $l.E_{a,b} = E_{al^{-4},bl^{-6}}$.
Cet espace $(\C^2-\Delta)/\C^*$ est un "orbifold", et pour lui donner une structure algébrique de "stack" on regarde $C_t :Y^2=X(X-1)(X-t)\cong E_{a(t),b(t)}$ alors le but c'est de donner une structure telle que $t\to (a(t),b(t))$ est un recouvrement étale ? Cela fonctionne pour n'importe quel corps (de caractéristique $\ne 2,3$). Le problème c'est qu'on ne sait pas définir des fonctions rationnelles sur $(\C^2-\Delta)/\C^*$, seulement des fonctions rationnelles sur une "extension étale" (les fonctions rationnelles en $a(t),b(t)$).
De la même façon que lorsqu'on utilise des cartes pour donner à la courbe modulaire $SL_2(Z)\setminus \Bbb{H}$ une structure de surface de Riemann, on ne sait pas construire de fonctions méromorphes sur la courbe modulaire.
Voici un exemple :
Un moduli problem sur la catégorie $ \mathrm{Sch} $ des schémas est un foncteur :
$$ F : \mathrm{Sch}^{ \mathrm{op} } \to \mathrm{Ens} $$
et résoudre ce moduli problem est représenter ce foncteur.
L'exemple que je voulais te montrer est le suivant :
On considère le moduli problem
$$ F \ : \ \big( \mathrm{Sch} / \mathbb{Q} \big)^{ \mathrm{op} } \to \mathrm{Ens} $$
défini par :
$$ T \to \{ \ \text{courbes elliptiques sur} \ T \ \} / \sim_{ \mathrm{iso} } $$
Alors, ce moduli problem n'a pas de solution dans la catégorie $ \mathrm{Sch} $.
Pour le montrer, considérons les courbes elliptiques sur $ \mathbb{Q} $ définies par : $ \{ \ x^3 - x = y^2 \ \} $ et $ \{ \ x^3 - x = 2 y^2 \ \} $. Il est facile de vérifier qu'elles ne sont pas isomorphes. Néanmoins, après avoir appliquer une extension de base vers $ \overline{ \mathbb{Q} } $, elles deviennent isomorphes. D'où $ F( \mathbb{Q} ) \to F ( \overline{ \mathbb{Q}}) $ n'est pas injective. Or, pour tout $ X \in \mathrm{Sch} $, on a : $ X ( \mathbb{Q} ) \to X ( \overline{ \mathbb{Q} } ) $ est injective.
Alors, s'il existe un $ X \in \mathrm{Sch} $ solution de $ F $, alors le diagram suivant commute :
$$ \xymatrix{
F ( \mathbb{Q} ) \ar[d]^{ \simeq } \ar[r] & F ( \overline{ \mathbb{Q} } ) \ar[d]^{ \simeq } \\
X ( \mathbb{Q} ) \ar[r] & X ( \overline{ \mathbb{Q} } )
} $$
C'est à dire, $ F( \mathbb{Q} ) \to F ( \overline{ \mathbb{Q}}) $ est injective. D'où contradiction.
Par conséquent, il n'existe aucun $ X \in \mathrm{Sch} $ solution du moduli problem $ F $.
Alors, pour remédier à ce problème, on a élargi la catégorie $ \mathrm{Sch} $ dans une catégorie plus grande $ \mathrm{Stack} $ où l'on a trouvé qu'il existe des objets dans cette nouvelle catégorie solution de $ F $, qu'on a appelé ''algebraic stacks''.
"moduli problem" ?
''algebraic stacks'' ?
Encore une fois, Pablo, écris en français sur un forum francophone !!!!!!!.............
Cordialement,
Rescassol
Problème de modules. La terminologie française existe.
reuns :
On a :
$$ \{ \ \text{courbes elliptiques} \ E_{ \lambda } \ \} / \sim_{ \mathrm{iso} } \simeq \{ \ \mathbb{C} / \mathbb{Z} + \tau \mathbb{Z} \ \} / \sim_1 \simeq \mathbb{H} / \mathrm{SL}_{2} ( \mathbb{Z} ) $$
avec :
- $ \sim_1 $ définie par :
$$ \mathbb{C} / \mathbb{Z} + \tau_1 \mathbb{Z} \ \sim_1 \ \mathbb{C} / \mathbb{Z} + \tau_2 \mathbb{Z} \ \ \Longleftrightarrow \ \ \exists A \in \mathrm{SL}_2 ( \mathbb{Z} ) \ : \ \tau_1 = A \tau_2 $$
- $ \sim_2 $ définie par :
$$ \tau_1 \ \sim_2 \ \tau_2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \exists A \in \mathrm{SL}_2 ( \mathbb{Z} ) \ : \ \tau_1 = A \tau_2 $$
D'où :
$$ \{ \ \text{courbes elliptiques} \ E_{ \lambda } \ \} / \sim_{ \mathrm{iso} } \ \simeq \ \mathbb{H} / \mathrm{SL}_{2} ( \mathbb{Z} ) $$
Dans le poste précédent, on a vu que : $ F (T) = \{ \ \text{courbes elliptiques sur} \ T \ \} / \sim_{ \mathrm{iso} } $ n'a pour solution que des champs algébriques.
Or, ici, çi-dessus, on a : $ \mathbb{H} / \mathrm{SL}_{2} ( \mathbb{Z} ) $ est solution du problème de modules : $ F( \mathbb{C} ) = \{ \ \text{courbes elliptiques} \ E_{ \lambda } \ \mathrm{sur} \ \mathbb{C} \ \} / \sim_{ \mathrm{iso} } $. Mais, $ \mathbb{H} / \mathrm{SL}_{2} ( \mathbb{Z} ) $ n'est pas un champs algébrique, mais une variété complexe si je ne m'abuse ( i.e : espace de module $ \mathcal{M}_{1,1} ( \mathbb{C} ) $ ). Non ?
Quelle est la différence entre les deux cas ?
Merci d'avance.
Une autre question que j'aimerais vous poser :
On sait que le type ou la notion d'objet située entre la notion de variété algébrique et la notion d'espace algébrique est la notion de schéma.
Quelle notion d'objet est situé entre la notion de variété topologique et la notion d'espace géométrique ?
Merci infiniment.