Sous-famille génératrice finie

Il n'y a qu'un nombre fini de $f_j$ et chaque $f_j$ ne requiert qu'un nombre fini de $g_j$ dans son expression

Bonjour,

Pour tout $j\in J$, $f_j$ s'écrit comme combinaison linéaire des éléments de $\mathcal{G} = (g_i)_{i\in I}$.
Donc, pour tout $j\in J$, on dispose d'une partie finie $I_j$ de $I$ telle que $f_j$ s'écrit comme combinaison linéaire des éléments de la famille $(g_i)_{i\in I_j}$.
On pose $\widehat{I} = \displaystyle\bigcup_{j\in J}I_j$.
Alors, $\widehat{I}$ est une partie finie de $I$ en tant que réunion indexée par l'ensemble fini $J$ de parties finies de $I$.
Je te laisse alors te convaincre que si on pose $\widehat{\mathcal{G}} = \left(g_i\right)_{i\in \widehat{I}}$, alors $\widehat{\mathcal{G}}$ est une sous-famille finie de la famille $\mathcal{G}$ et engendre $E$.

Je vais me permettre une digression, mais avant cette digression je te réponds quand même : oui, c'est correct. Pour un exam/DS/concours/preuve 100% formelle il serait bon d'écrire "il existe $(\beta_j)_j$ telle que $x= ...$" plus que simplement "$x= ...$" (sinon on te dirait "qui sont les $\beta_j$? ")

Ma digression maintenant :
Ta preuve semble faire appel au fait qu'on est face à un espace vectoriel, alors qu'en fait pas du tout, c'est beaucoup plus général. Voici la preuve (dans le cadre des espaces vectoriels) qui s'adapte selon moi le plus facilement et qui fait vraiment ressentir les conditions essentielles qui font que ça marche :
1- $Vect(G) = \bigcup\{Vect(G_0) \mid G_0\subset G$ finie $\}$. Comme le côté droit contient $G$, et est évidemment inclus dans le côté gauche, il suffit de prouver que c'est un sous-espace vectoriel. Soit $x,y$ dans le côté gauche et $\lambda\in K$, $x\in Vect(G_0), y\in Vect(G_1)$ avec $G_0,G_1\subset G$ finies. Alors $x,y\in Vect(G_0\cup G_1) $ donc $\lambda x + y \in Vect(G_0\cup G_1)$ donc $\lambda x+y$ est dans le côté gauche : ok.
2- Prendre $G_i\subset G$ finie contenant $f_i$ : possible par 1- et car $Vect(G)=E$; et $G' := \bigcup_i G_i$. $G'\subset G$ est finie et pour tout $i$, $f_i \in Vect(G')$, donc $E=Vect((f_i)) \subset Vect(G')\subset E$ donc $Vect(G') = E$

Alors, on me dira que "c'est la même chose" et effectivement dans le fond c'est la même chose, mais a - déjà on n'a pas à se trimballer ces sommes finies qui ne servent à rien dans l'affaire (si on regarde comment on les utilise bah... on ne les utilise pas ! :-D ) et ne font qu'obscurcir l'argument et b- a- dit plus généralement qu'on s'est séparés des détails encombrants, et cette séparation permet de voir que ça marche dans un contexte bien plus général; en particulier cette preuve s'adapte mutatis mutandis aux cas des anneaux, des modules, des groupes, ... (pour un cadre plus général, on pourra se rapporter par exemple au fil qu'on entretient avec Homo Topi sur les algèbres libres); et on voit bien comment la changer pour qu'elle s'adapte à des cas où les arités sont plus grandes/on voit pourquoi elle ne s'adapte pas si les arités ne sont pas bornées (même par un cardinal infini)

@futurmpsi

Est-il possible qu’on n’ait ni x<m ni m<x ni x=m ?