Construction de l’ensemble des rationnels

En effet $a/d$ est une notation ici. Pas une division par exemple. C’est une classe de couple.
On pourrait noter autrement $(a,d)$, avec une barre au dessus, un chapeau etc.

En fait $a/b$ est une notation conventionnelle dans le cas commutatif pour $a\,b^{-1}$ qui vaut aussi $b^{-1}\,a$. C'est la raison pour laquelle cette notation n'est pas utilisée par exemple dans les matrices puisqu'à cause de la non commutativité il y a une ambigüité quant à la multiplication par l'inverse de $b$ à droite ou à gauche.
Pareillement $\frac1b$ ne s'utilise que dans le cas commutatif pour désigner l'inverse de $b$ sinon il y a ambigüité.
Pareillement $-a$ est une convention d'écriture pour l'opposé de $a$ de sorte qu'en toute rigueur la soustraction (comme la division) n'existe pas. C'est "ajouter l'opposé" (où " multiplier par l'inverse" qui a un sens ).

La construction de $\Bbb{Z}$ est identique à celle de $\Bbb{Q}$ en partant de $\Bbb{N}²$ et en "symétrisant" l'addition (de même que tu symétrise la multiplication pour construire $\Bbb{Q}$) puisque la soustraction n'existe pas dans $\Bbb{N}$ c'est-à-dire en définissant la relation $(a,b)R(u,v)\Leftrightarrow a+v=b+u)$.

Le cas de l'addition est plus facile à visualiser en informatique car on comprend bien que tous les nombres étant représenter avec des 0 et des 1, $-1001101$ n'a pas de sens pour un processeur c'est à dire une circuiterie électrique; il faut lui en donner un en répondant à la question : que doit-on ajouter à 1001101 pour avoir 0 ? et cette "chose" par convention se notera -1001101 et c'est cela que font les processeurs qui pour soustraire, calcule d'abord l'opposé par complément à 2 puis l'ajoute.