Th Dirichlet version faible
Bonjour à tous :
Voici une preuve courte de ce théorème :
J'avoue que j'ai du mal à comprendre les arguments déployés dans le tout dernier paragraphe qui permettent de conclure grâce au lemme démontré avant (sans doute cette version "courte" est elle trop courte pour mon modeste niveau lol) :
- comment sait on que $N\geq{n}$?
- comment détermine t'on que $X^n-1$ est forcément premier avec son polynôme dérivé dans $Z/pZ$?
- pourquoi si $p$ divise un autre $\phi_d(a)$ alors $a$ est forcément racine double de $X^n-1$?
Merci par avance pour quelques bribes de compléments qui me permettraient de mieux comprendre!
Voici une preuve courte de ce théorème :
J'avoue que j'ai du mal à comprendre les arguments déployés dans le tout dernier paragraphe qui permettent de conclure grâce au lemme démontré avant (sans doute cette version "courte" est elle trop courte pour mon modeste niveau lol) :
- comment sait on que $N\geq{n}$?
- comment détermine t'on que $X^n-1$ est forcément premier avec son polynôme dérivé dans $Z/pZ$?
- pourquoi si $p$ divise un autre $\phi_d(a)$ alors $a$ est forcément racine double de $X^n-1$?
Merci par avance pour quelques bribes de compléments qui me permettraient de mieux comprendre!
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Réponses
1) On peut choisir $N \geq n$.
2) Le polynôme dérivé est $nX^{n-1}$ qui n'admet que $0$ pour racine (puisque $n \neq 0$ dans $\mathbb F_p$), qui n'est pas racine de $X^n-1$, ces deux polynômes sont donc premiers entre eux dans $\bar{\mathbb F_p}$, et donc dans $\mathbb F_p$.
3) Si $p$ divise également $\Phi_d(a)$ alors ça veut dire que $a$ est racine de $\Phi_d$ dans $\mathbb F_p$. Étant également racine de $\Phi_n$ dans $\mathbb F_p$, il serait racine au moins double de leur produit, qui divise $X^n-1$.