Liberté et sous-corps
dans Algèbre
Salut,
Soit $E$ un $K$-ev et $L$ un sous-corps de $K$. On montre facilement que si une famille est $K$-libre alors elle est $L$-libre. Quelqu'un aurait-il un exemple simple illustrant que la réciproque est fausse ?
Soit $E$ un $K$-ev et $L$ un sous-corps de $K$. On montre facilement que si une famille est $K$-libre alors elle est $L$-libre. Quelqu'un aurait-il un exemple simple illustrant que la réciproque est fausse ?
Réponses
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Bonjour,
On peut regarder le corps des rationnels et une extension des rationnels engendrée par un irrationnel ($L = \mathbb{Q}$ et $K = \mathbb{Q}[\alpha]$ avec $\alpha \in \mathbb{R}- \mathbb{Q}$) -
En fait je viens de trouver un truc ultra-simple avec $K=\mathbf C$ et $L=\mathbf R$ mais je le rumine un peu car ton exemple suggère la difficulté.
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Salut,
tu prends $E=\mathbb{R}$, $K=\mathbb{R}$ et $L=\mathbb{Q}$. La famille $\lbrace1,\pi\rbrace$ est libre pour $L$ mais pas pour $K$. -
@Démarrelesprobas Oui ça marche aussi,
plus généralement si $k$ est un corps et $x$ est un élément non algébrique sur $k$ $x \notin k$ est algébrique sur $k$,alors en prenant $L = k$ et $K = k[x]$ on a ce qu'on veut
ton exemple correspond à $k = \mathbb{R}$ et $x =i$
et le mien à $k = \mathbb{Q}$ et $x = \alpha$ -
Merci à vous, mon exemple était : $E=\mathbf C,K=\mathbf C,L=\mathbf R$ avec $(1,i)$ qui est $\mathbf R$-libre et non $\mathbf C$-libre.
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supp
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Une autre question un peu en lien avec ça. Je sais que $\mathrm{dim}_{\mathbf C}(\mathbf C)=1$ (car $(1)$ est une $\mathbf C$-base de $\mathbf C$) et que $\mathrm{dim}_{\mathbf R}(\mathbf C)=2$ (car $(1,i)$ est une $\mathbf R$-base de $\mathbf C$). Toutefois, je n'arrive pas à justifier plus généralement que si $E$ est un espace vectoriel tel que $n:=\mathrm{dim}_{\mathbf C}(E)\in\mathbf N$ alors $\mathrm{dim}_{\mathbf R}(E)=2n$.
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Bonsoir,
Sans aucune rigueur, si $(e_1,\,\cdots,\,e_n)$ est une $\C$-base de $\text{E}$ en tant que $\C$-e.v., alors $(e_1,\,\cdots,\,e_n,\,i\,e_1,\,\cdots,\,i\,e_n)$ est une $\R$-base de $\text{E}$ en tant que $\R$-e.v.
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Merci, on peut effectivement vérifier ça.
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Bonjour!
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