Classement des isométries affines

Salut,

On note $M$ la matrice de $f$ dans une base orthonormal. Disons $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$. Dire qu'il existe un vecteur $X \ne 0$ tel que $MX = X$ revient à dire que $(M-\text{I}_2)X = 0$ et donc que le déterminant de $M-\text{I}_2$ est nul. On a :
$$
M-\text{I}_2 = \begin{bmatrix} a-1 & b \\ c & d-1 \end{bmatrix}
$$
Et son déterminant est $(a-1)(d-1)-bc = ad-bc -(a+d)+1$. Sous l'hypothèse que $M$ est de déterminant $1$. On obtient que :
$$
a+d = 2 \qquad (\star)
$$
Si on ajoute que $a^2+c^2 = 1$ et $b^2+d^2 =1$, on obtient que $a$ et $d$ sont de valeurs absolues inférieures à $1$. En particulier, $(a-1) \leq 0$ et $d-1 \leq 0$. Et donc $(a-1)(b-1) \geq 0$.

Maintenant, je reprend $(\star)$ que j'écrits $(a-1)+(d-1) = 0$ et je la mets au carré, on obtient :
$$
(a-1)^2+(d-1)^2 = - 2(a-1)(d-1)
$$
A gauche c'est positif ou nul et à droite c'est négatif ou nul et donc les deux membres valent $0$ … i.e $a =1$ et $d=1$ et comme $a^2+c^2=1$ on obtient $c=0$ etc.

Ici le déterminant vaut 1.

Tu fais un va-et-vient un peu confus entre hypothèses et conclusion, non ?

Si le déterminant vaut $1$ et qu'une valeur propre vaut $1$, l'autre valeur propre est $\dfrac{1}{1}=1$. Mais alors, la matrice de l'application linéaire associée dans une base orthonormée dont le premier vecteur est propre pour la valeur propre $1$ est de la forme \[\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}.\] Il ne faut pas oublier qu'elle est orthogonale, ce qui permet de déterminer $a$.

Tu supposes ou tu en es sûr ? Quelle est la définition d'une matrice orthogonale ?