$L_c(E,F)$ est complet
Bonsoir à tous,
Dans cet exercice, on doit prouver la complétude d'un espace d'applications mais j'ai un peu de mal à cerner les objets qu'on manipule :
La norme définie dans l'énoncé c'est une norme subordonnée? Si oui, pourquoi on utilise pas les triples barres quand on écrit $||f_p-f_q||\leq\epsilon$?
Comment on obtient cette majoration : $||f_p(x)-f_q(x)||\leq||f_p-f_q||.||x||\leq||x|.\epsilon$ à partir de la précédente?
On multiplie juste chaque membre par $||x||$? Mais pour le membre de gauche, on utilise $||g(x)||\leq|||g|||.||x||$?
Merci par avance pour votre aide!
Dans cet exercice, on doit prouver la complétude d'un espace d'applications mais j'ai un peu de mal à cerner les objets qu'on manipule :
La norme définie dans l'énoncé c'est une norme subordonnée? Si oui, pourquoi on utilise pas les triples barres quand on écrit $||f_p-f_q||\leq\epsilon$?
Comment on obtient cette majoration : $||f_p(x)-f_q(x)||\leq||f_p-f_q||.||x||\leq||x|.\epsilon$ à partir de la précédente?
On multiplie juste chaque membre par $||x||$? Mais pour le membre de gauche, on utilise $||g(x)||\leq|||g|||.||x||$?
Merci par avance pour votre aide!
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Réponses
Oui c'est la norme subordonnée. Souvent, en prépa on la note $|||f|||$ comme tu le fais remarquer mais c'est long à écrire et pas franchement utile s'il n'y a pas de risque de confusion avec d'autres normes. Donc $||f_p-f_q||$ c'est pareil que $|||f_p-f_q|||$.
La majoration vient de ce que pour tout opérateur borné $f$ et $x\in E$, $||f(x)|| \leq ||f|| ||x||$. C'est une propriété classique, et si tu ne la connais pas tu as tout intérêt à essayer de la prouver.
La première majoration que tu demandes vient de la définition même de la norme subordonnée appliquée à la fonction $f_p-f_q$ et la deuxième du fait que par hypothèse, la suite $(f_n)_n$ est de Cauchy dans $L_c(E,F)$.
Bonne soirée
Pour être sûr qu'on parle de la même chose :
- $||f_p(x)-f_q(x)||\leq||f_p-f_q||.||x||$ serait une application directe de $||f(x)||\leq||f||.||x||$ c'est cela?
- Et pour $||f_p-f_q||.||x||\leq||x||.\epsilon$?
Par ailleurs, je ne comprends pas l'argument pour dire que $f_p(x)$ est aussi une suite de Cauchy de F...
$||f(x)||_F\leq ||f||.||x||_E$ (c'est vrai aussi pour $x=0$ car f est linéaire donc $f(0)=0$)
Pour ta seconde question, une fois que tu as majoré $||f_p(x)-f_q(x)||$ à l'aide de la première inégalité ($||f_p(x)-f_q(x)||=||(f_p-f_q)(x)||$), tu utilises le fait que la suite $(f_n)_n$ est de Cauchy dans $L_c(E,F)$ pour majorer $||f_p-f_q||$ par $\epsilon$
Ensuite, lorsque $x$ est fixé, la suite $(f_n(x))_n$ est de Cauchy dans F parce que tu peux le vérifier avec la définition en utilisant exactement le même rang $N$ que dans l'assertion "$(f_n)_n$ est une suite de Cauchy de $L_c(E,F)$"
Merci pour ces nouveaux éléments, les choses commencent à se clarifier dans ma tête.
Par contre, une chose me gêne encore : donc pour $p,q\geq{N}$ on a obtenu cela : $||f_p(x)-f_q(x)||\leq||x||.\epsilon$,
mais pour dire que $f_n(x)$ est de Cauchy dans F, il ne faudrait pas avoir $||f_p(x)-f_q(x)||\leq\epsilon$?
Car le $x\in{E}$ n'est pas forcément de norme $\leq1$ ici non?