Fonction polynomiale

Soit le corps fini $K = \mathbb{F}_q$. Sais-tu construire un polynôme qui est nul pour tout $a \in K^*$ ?
Que peux-tu dire de $I = \{ f \in K[X], \forall a \in K, f(a) = 0\}$ ? L'anneau des fonctions polynomiales $K \to K$ est isomorphe à l'anneau quotient $K[X]/I$