Réduction de Jordan
Bonjour à tous,
Je cherche à trigonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}$ sous la forme $T=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Je cherche trois vecteurs $E_1$, $E_2$ et $E_3$ vérifiant : $AE_1 = E_1$, $AE_2 = E_2$ et $AE_3 = E_2 + E_3$.
Mes deux premières équations m'amènent à proposer $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ et $E_2 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$. Je trouve alors $E_3 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&2\end{pmatrix}$.
Mais si j'avais inversé $E_1$ et $E_2$ : $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$ et $E_2 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ je serai tombé sur une aberration me semble-t-il en cherchant à résoudre $AE_3 = E_2 + E_3$ avec $E_3 = ~^t\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}$, l'aberration étant $x + 1 = x$.
Serait-il possible de m'indiquer où mon raisonnement plante ?
En vous remerciant d'avance.
Je cherche à trigonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}$ sous la forme $T=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Je cherche trois vecteurs $E_1$, $E_2$ et $E_3$ vérifiant : $AE_1 = E_1$, $AE_2 = E_2$ et $AE_3 = E_2 + E_3$.
Mes deux premières équations m'amènent à proposer $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ et $E_2 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$. Je trouve alors $E_3 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&2\end{pmatrix}$.
Mais si j'avais inversé $E_1$ et $E_2$ : $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$ et $E_2 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ je serai tombé sur une aberration me semble-t-il en cherchant à résoudre $AE_3 = E_2 + E_3$ avec $E_3 = ~^t\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}$, l'aberration étant $x + 1 = x$.
Serait-il possible de m'indiquer où mon raisonnement plante ?
En vous remerciant d'avance.
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Réponses
Mais je ne comprends pas pourquoi mon premier vecteur ($E_1 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ ou $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$) devrait faire partie de l'image de $A - I_3$.
Suite au problème auquel j'ai fait face il y a une semaine, je me suis un peu replongé dans la méthode de "jordanisation" d'une matrice.
Pour éviter l'écueil en question, je me rends que la méthode préconise de "partir en arrière". Par exemple, en dimension 3, si on a une valeur propre triple $\lambda$ dans le sous espace propre associé est de dimension 1, on détermine une base $(u,v,w)$ en commençant par $w$, puis en remontant.
Ceci nous assure l'appartenance de $v$ et $w$ à l'image de $A - \lambda I$.
Mais quand je regarde les différentes méthodes de trigonalisation (je ne parle plus de jordanisation), elle se font toutes "vers l'avant", et à aucun moment il n'est dit que l'on doit veiller à ce que les vecteurs choisis pour la trigonalisation soient dans l'image de $A - \lambda I$ (alors que cela devrait être le cas pour au moins l'un d'entre eux, sans quoi la matrice serait diagonalisable). Qu'est ce qui justifie cela ?
Bon j'imagine que c'est moi qui me plante encore une fois, mais serait-il possible de me dire où ?
En vous remerciant d'avance.