Réduction de Jordan
Bonjour à tous,
Je cherche à trigonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}$ sous la forme $T=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Je cherche trois vecteurs $E_1$, $E_2$ et $E_3$ vérifiant : $AE_1 = E_1$, $AE_2 = E_2$ et $AE_3 = E_2 + E_3$.
Mes deux premières équations m'amènent à proposer $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ et $E_2 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$. Je trouve alors $E_3 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&2\end{pmatrix}$.
Mais si j'avais inversé $E_1$ et $E_2$ : $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$ et $E_2 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ je serai tombé sur une aberration me semble-t-il en cherchant à résoudre $AE_3 = E_2 + E_3$ avec $E_3 = ~^t\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}$, l'aberration étant $x + 1 = x$.
Serait-il possible de m'indiquer où mon raisonnement plante ?
En vous remerciant d'avance.
Je cherche à trigonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}$ sous la forme $T=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$.
Je cherche trois vecteurs $E_1$, $E_2$ et $E_3$ vérifiant : $AE_1 = E_1$, $AE_2 = E_2$ et $AE_3 = E_2 + E_3$.
Mes deux premières équations m'amènent à proposer $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ et $E_2 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$. Je trouve alors $E_3 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&2\end{pmatrix}$.
Mais si j'avais inversé $E_1$ et $E_2$ : $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$ et $E_2 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ je serai tombé sur une aberration me semble-t-il en cherchant à résoudre $AE_3 = E_2 + E_3$ avec $E_3 = ~^t\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}$, l'aberration étant $x + 1 = x$.
Serait-il possible de m'indiquer où mon raisonnement plante ?
En vous remerciant d'avance.
Réponses
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Ton premier vecteur n'est pas dans l'image de $A-I_3$. Il faut partir d'un vecteur qui est à la fois dans l'image et dans le noyau de $A-I_3$ (en fait c'est automatique puisque $(A-I_3)^2=0$).
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Merci Poirot pour ta réponse,
Mais je ne comprends pas pourquoi mon premier vecteur ($E_1 = ~^t\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ ou $E_1 = ~^t\begin{pmatrix}0&-1&1\end{pmatrix}$) devrait faire partie de l'image de $A - I_3$. -
Si tu cherches $E_2$ et $E_3$ tels que $AE_2=E_2$ et $AE_3=E_2+E_3$, c'est que tu cherches $E_2$ (non nul) dans $\ker(A-I_3)$ et $E_3$ tel que $(A-I_3)E_3=E_2$, c'est-à-dire que $E_2$ est dans l'image de $A-I_3$ et $E_3$ en est un antécédent.
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C'est bien plus clair maintenant. Merci.
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Rebonjour à tous,
Suite au problème auquel j'ai fait face il y a une semaine, je me suis un peu replongé dans la méthode de "jordanisation" d'une matrice.
Pour éviter l'écueil en question, je me rends que la méthode préconise de "partir en arrière". Par exemple, en dimension 3, si on a une valeur propre triple $\lambda$ dans le sous espace propre associé est de dimension 1, on détermine une base $(u,v,w)$ en commençant par $w$, puis en remontant.
Ceci nous assure l'appartenance de $v$ et $w$ à l'image de $A - \lambda I$.
Mais quand je regarde les différentes méthodes de trigonalisation (je ne parle plus de jordanisation), elle se font toutes "vers l'avant", et à aucun moment il n'est dit que l'on doit veiller à ce que les vecteurs choisis pour la trigonalisation soient dans l'image de $A - \lambda I$ (alors que cela devrait être le cas pour au moins l'un d'entre eux, sans quoi la matrice serait diagonalisable). Qu'est ce qui justifie cela ?
Bon j'imagine que c'est moi qui me plante encore une fois, mais serait-il possible de me dire où ?
En vous remerciant d'avance. -
Je me permets un petit UP...
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