Polynôme

Tu devrais écrire le développement pour $n=1$, $n=2$, $n=3$, $n=4$ et identifier $m$ et $r_n$.

NB (trop tôt) : Voici une façon plus économique de procéder. Pour $n=0$ et $n=1$, la propriété est évidente : avec $P_0(Y)=2$ et $P_1(Y)=Y$, on a bien $X^{0}+X^{-0}=P_0(X+X^{-1})$ et $X+X^{-1}=P_1(X+X^{-1})$. Soit $n\ge1$, supposons que pour tout $k\ge n$, il existe $P_k$ tel que $X^k+X^{-k}=P_k(X+X^{-1})$. Alors \[(X+X^{-1})(X^n+X^{-n})=X^{n+1}+X^{-n-1}+X^{n-1}+X^{-n+1},\quad \text{d'où}\ P_{n+1}=P_1P_n-P_{n-1}\ \text{convient}.\] Note le lien avec la formule $2\cos\theta\cos n\theta=\cos(n+1)\theta+\cos(n-1)\theta$ obtenue en prenant $X=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et les polynômes de Tchebychev.

J'ai toujours trouvé les bouquins de Gourdon très énervants à utiliser parce qu'il fournit très peu d'explications dans ses démonstations. Quand on a compris, ça va, mais quand on n'a pas compris, c'est rarement avec un livre de Gourdon seul qu'on réussit à comprendre...

Il contient beaucoup d'exercices qui sont souvent assez difficiles pour un étudiant en Bac+1/Bac+2 (c'est-à-dire le public visé), donc si on arrive à faire les exos du Gourdon, en principe on a un bon niveau pour les concours de fin de prépa. Le cours du Gourdon contient à peu près tous les résultats importants, mais peu de démonstrations, donc en quelque sorte c'est un bon livre pour réviser (pour les concours ou quand on a passé le niveau Bac+2) parce que "tout est dedans", à condition d'avoir déjà vu les choses et d'avoir ses propres cours avec des démonstrations si besoin.

Pour l'agrégation aussi, les bouquins de Gourdon sont pratiques parce que les exercices fournissent des idées de développements pour les leçons à l'oral. De même, les exercices et problèmes permettent de découvrir plein de choses donc c'est excellent pour trouver des nouvelles choses auxquelles s'intéresser pour élargir sa culture mathématique.

Ce sont des bons livres, mais je ne pense pas qu'ils sont très bien pour "découvrir". Je les considère vraiment comme des livres de "révision".

Oui, la majorité (en termes de volume de papier à apprendre) du programme de l'agrégation n'est pas du tout dans ces deux livres.