Sous-groupe de $\mathfrak S_p$

raboteux · August 2018

Bonsoir à tous
J'ai pris un gros mal de tête sur cet exercice.

Dans le corrigé, il y a plusieurs transitions que je ne comprends pas; mais dans un premier temps ces deux là me bloquent dès le départ.

- l'argument que les $H, \ \gamma .H,\ \gamma ^{2}.H,\ldots$ sont forcément disjoints sinon on aurait $Card(S_p) \geq p.Card(H)$
- l'argument que si deux de ces sous-ensembles ne sont pas disjoints alors $\gamma ^{j-i} \in H$ (censé se déduire facilement, mais pas chez moi lol)

Si vous aviez dans un premier temps quelques détails me permettant de mieux comprendre ...
Merci par avance.

Maxtimax · August 2018

Eh bien si les $\gamma^iH$ sont deux à deux disjoints, le cardinal de leur union est la somme de leurs cardinaux, qui sont tous $card(H)$: il y en a $p$, donc ça ferait que leur union a un cardinal $\geq pCard(H)$. Mais leur union est incluse dans $S_p$...

Pour le deuxième point, si $x\in \gamma^iH\cap\gamma^jH$, alors il existe $h,h'\in H$ tels que $\gamma^ih = x = \gamma^jh'$ et donc en simplifiant, $\gamma^{i-j} = h'h^{-1}$

raboteux · August 2018

Maxtimax écrivait:

> Eh bien si les $\gamma^iH$ sont deux à deux disjoints, le cardinal de leur union est la somme de leurs cardinaux, qui sont tous $card(H)$: il y en a $p$, donc ça ferait que leur union a un cardinal $\geq pCard(H)$. Mais leur union est incluse dans $S_p$...

Que je comprenne bien : le cardinal de $S_p$ est bien $p!$ non ? Quel est le problème exact que cela pose alors ?

Maxtimax · August 2018

Quel est l'indice de $H$ dans $S_p$ ?

raboteux · August 2018

Par donnée de l'énoncé :

$[S_p:H] \leq p-1$ donc $Card(S_p) \leq (p-1).Card(H)$

Or $Card(S_p)=p!$ mais comme on ne connaît pas $Card(H)$, comment on conclu?

Maxtimax · August 2018

Mais... tu viens de me dire $Card(S_p)\leq (p-1) Card(H)$ et ton texte te dit "$Card(S_p)\geq p Card(H)$, donc absurde" :-S

raboteux · August 2018

Oui, je viens de comprendre le "chaînons manquant" dans mon raisonnement : si $S_p$ contient des parties disjointes qui lui sont incluses alors son cardinal est forcément supérieur ou égal à la somme des cardinaux de ces parties, c'est à dire à $p.card(H)$, vu que cela est contradictoire avec l'inégalité amenée par l'hypothèse sur l'indice, alors il existe au moins deux parties qui ne sont pas disjointes...

Sous-groupe de $\mathfrak S_p$

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