Utilisation du théorème de Lagrange

Bonsoir à tous,

Je coince un peu sur la démonstration de ce lemne :



Il est fait utilisation du théorème de Lagrange pour démontrer que $H_i \cap H_j$ est forcément égale à {e}.

Ce que je ne comprends pas :

- je croyais que ce théorème permettait de prouver que l'intersection de deux sous groupes est {e} quand l'ordre de chacun des sous groupes est un nombre premier. Dans ce cas là, effectivement, l'ordre d'un élément de l'intersection devant diviser l'ordre de chacun des deux sous groupes, le pgcd de 1 implique que l'ordre d'un élément de l'intersection est 1, donc cet élément ne peut être que {e}.

- mais dans le cas présent, un $H_i$ a pour cardinal $p^n_i$, c'est à dire sauf erreur de ma part un nombre non premier, même chose pour $H_j$, donc comment arrive t'on à $H_i \cap H_j={e}$?

Merci par avance pour vos éclaircissements.