Propriété des sous-groupes

L'ensemble des commutateurs $C=\{[x,y] \mid x,y\in G\}$ n'est en général pas un sous-groupe de $G$ : il existe des groupes possédant deux commutateurs dont le produit n'est pas un commutateur. Le sous-groupe dérivé de $G$ est défini comme le sous-groupe engendré par $C$ dans $G$. Donc attention, le sous-groupe dérivé de $G$ n'est pas, en général, l'ensemble des commutateurs de $G$, celui-ci peut-être plus gros que ce dernier !

Si tu n'es pas à l'aise avec la notion de sous-groupe engendré par une partie $S$ d'un groupe $G$ il serait bon de regarder de ce côté ! C'est la manière "la plus économique" de créer un sous-groupe de $G$ contenant $S$, c'est le plus petit tel sous-groupe au sens de l'inclusion : si je note $\langle S \rangle$ le sous-groupe de $G$ engendré par $S$ il s'agit de l'unique sous-groupe de $G$ contenant $S$ et tel que, dès que $H$ est un sous-groupe de $G$ vérifiant $S \subset H$ alors $\langle S \rangle \subset H$.

Une manière "intuitivo-constructive" de voir les choses :

$G$ est un groupe d'élément neutre $e$, je choisis deux éléments $u$ et $v$.

Le sous-groupe engendré par $\{u,v\}$ contient $u$ et $v$ mais aussi $e$, et $u^{-1}$, puis $v^{-1}$ mais aussi $uv$ etc.
On rajoute tout ce qu'il suffit de rajouter pour avoir un sous-groupe. Mais "pas davantage".

C'est une première idée.

Un sous-groupe engendré par une partie d'un groupe G est l'intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent cette partie.

Comme déjà dit par d'autres ce sous-groupe est "construit" en ajoutant à cette partie autant d'éléments de G nécessaires (mais pas plus) pour constituer un sous-groupe de $G$.

Dans le cas d'une partie à un élément $\{a\}$ le sous-groupe engendré par cette partie est constitué des éléments $a^n$ où $n$ est un entier relatif.

Dans le cas d'une partie à deux éléments $\{a,b\}$ le sous-groupe engendré par cette partie est constitué par l'ensemble des éléments (non nécessairement distincts) $a^mb^n$ et $b^ma^n$ et avec $m,n$ des entiers relatifs.

PS:
Un contre-exemple au fait que le produit de commutateurs d'un groupe n'est pas toujours un commutateur n'est pas immédiat à construire. On en a déjà parlé ici.

PS2:
Message modifié avant de lire la remarque de Dom ci-dessous.

Dom:

Je me suis rendu compte de la bêtise de mon propos au moment où tu écrivais.

PS:

Si $E$ est une partie à deux éléments $\{a,b\}$ d'un groupe $G$ le groupe engendré par cette partie est, me semble-t-il, l'ensemble des éléments de la forme: $a^{i_1}b^{i_2}....a^{i_{2n-1}}b^{i_{2n}}$, $n$ un entier naturel non nul.

Les $i_k$ valent $-1$ ou $0$ ou $1$.

"Contenir" et "être égal à" , ce n'est pas la même chose.

Raboteux:

Croire que le sous-groupe engendré par les commutateurs d'un groupe est toujours composé que de commutateurs c'est un peu comme croire que le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ engendré par les vecteurs de coordonnées $(0,0,1)$ et $(1,0,0)$ est composé de seulement deux vecteurs.

PS:
Comme déjà mentionné un exemple de groupe avec son sous-groupe engendré par les commutateurs qui n'est pas composé que de commutateurs n'est pas simple à produire.

Et tu as bien raison, il faut toujours faire reposer la viande avant la cuisson.

@brian : l'inverse d'un commutateur est un commutateur.