Propriété des sous-groupes
Bonjour à tous,
Vous trouverez ci-dessous un extrait de cours qui me soulève une question.
Cela traite des commutateurs, mais mon questionnement est plus général et concerne les sous-groupes et leurs propriétés.
Je pensais avoir compris qu'un sous-groupe possédait les mêmes propriétés de stabilité au produit qu'un groupe. Or, l'auteur du cours dit que l'ensemble des commutateurs n'est pas stable au produit, donc ne peut pas être qualifié de groupe et il le qualifie donc de sous-groupe (engendré).
Donc soit je lis et interprète mal (je préférerais à la limite...), soit je n'avais rien compris depuis le début.
Je suis troublé et quelques explications complémentaires ne me feraient pas de mal...
Merci par avance.
Vous trouverez ci-dessous un extrait de cours qui me soulève une question.
Cela traite des commutateurs, mais mon questionnement est plus général et concerne les sous-groupes et leurs propriétés.
Je pensais avoir compris qu'un sous-groupe possédait les mêmes propriétés de stabilité au produit qu'un groupe. Or, l'auteur du cours dit que l'ensemble des commutateurs n'est pas stable au produit, donc ne peut pas être qualifié de groupe et il le qualifie donc de sous-groupe (engendré).
Donc soit je lis et interprète mal (je préférerais à la limite...), soit je n'avais rien compris depuis le début.
Je suis troublé et quelques explications complémentaires ne me feraient pas de mal...
Merci par avance.
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Réponses
Si tu n'es pas à l'aise avec la notion de sous-groupe engendré par une partie $S$ d'un groupe $G$ il serait bon de regarder de ce côté ! C'est la manière "la plus économique" de créer un sous-groupe de $G$ contenant $S$, c'est le plus petit tel sous-groupe au sens de l'inclusion : si je note $\langle S \rangle$ le sous-groupe de $G$ engendré par $S$ il s'agit de l'unique sous-groupe de $G$ contenant $S$ et tel que, dès que $H$ est un sous-groupe de $G$ vérifiant $S \subset H$ alors $\langle S \rangle \subset H$.
Mais l'extrait dit : "on considère [...] le sous-groupe engendré pas les commutateurs".
C'est la notion de "sous-groupe engendré par" qui est importante.
C'est le plus petit sous-groupe qui les contient tous.
Edit : Poirot est plus rapide ;-)
- ce sous-groupe engendré par les commutateurs, ses éléments constitutifs ne sont ils pas les commutateurs eux mêmes?
- si oui, alors si un "sous groupe engendré par" est bien un sous groupe, il doit vérifier les mêmes propriétés que les autres sous groupes, à savoir que les éléments d'un sous groupe sont stables par le produit (comme pour les éléments d'un groupe d'ailleurs)?
le sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$ engendré par 2 est le sous-groupe des entiers pairs, il n'est pas réduit à {2}.
Cordialement.
$G$ est un groupe d'élément neutre $e$, je choisis deux éléments $u$ et $v$.
Le sous-groupe engendré par $\{u,v\}$ contient $u$ et $v$ mais aussi $e$, et $u^{-1}$, puis $v^{-1}$ mais aussi $uv$ etc.
On rajoute tout ce qu'il suffit de rajouter pour avoir un sous-groupe. Mais "pas davantage".
C'est une première idée.
Les multiplier ou prendre leur inverse fera en sorte qu'on reste dans G.
On forme un commutateur avec ces x et y.
Puis on forme un sous-groupe avec les éléments de cette forme (on les multiplie, on prend leur inverse, on a donc de nouveaux éléments, qu'on peut aussi multiplier, prendre l'inverse etc, et on y met l'élément neutre de G).
On a bien un sous-groupe de G, par construction.
Edit : je pense que ça revient un peu à ce qu'a dit @Dom.
Comme déjà dit par d'autres ce sous-groupe est "construit" en ajoutant à cette partie autant d'éléments de G nécessaires (mais pas plus) pour constituer un sous-groupe de $G$.
Dans le cas d'une partie à un élément $\{a\}$ le sous-groupe engendré par cette partie est constitué des éléments $a^n$ où $n$ est un entier relatif.
Dans le cas d'une partie à deux éléments $\{a,b\}$ le sous-groupe engendré par cette partie est constitué par l'ensemble des éléments (non nécessairement distincts) $a^mb^n$ et $b^ma^n$ et avec $m,n$ des entiers relatifs.
PS:
Un contre-exemple au fait que le produit de commutateurs d'un groupe n'est pas toujours un commutateur n'est pas immédiat à construire. On en a déjà parlé ici.
PS2:
Message modifié avant de lire la remarque de Dom ci-dessous.
On n'aurait pas des cas où on doit ajouter par exemple, $ababb$, si ça ne commute pas ?
Je me suis rendu compte de la bêtise de mon propos au moment où tu écrivais.
PS:
Si $E$ est une partie à deux éléments $\{a,b\}$ d'un groupe $G$ le groupe engendré par cette partie est, me semble-t-il, l'ensemble des éléments de la forme: $a^{i_1}b^{i_2}....a^{i_{2n-1}}b^{i_{2n}}$, $n$ un entier naturel non nul.
Les $i_k$ valent $-1$ ou $0$ ou $1$.
Il est dit un peu plus loin dans le cours (mais pas visible dans l'extrait que j'ai donné dans mon premier post) :
"D(G) est par définition le plus petit sous-groupe de G qui contient les commutateurs".
Donc D(G) contient les commutateurs, par ailleurs D(G) est quand même un sous-groupe donc le produit de deux éléments d'un sous-groupe appartient au sous-groupe, donc le produit de deux commutateurs est bien un commutateur dans ce sous-groupe ?
Mais pour autant, d'après l'auteur le produit de deux commutateurs n'étant a priori pas un commutateur, les commutateurs ne sont pas un groupe ?
Il y a toujours quelque chose qui me gêne et une subtilité que je ne comprends pas...
Je crois que je commence à comprendre ma méprise :
ce sous-groupe comprend les éléments qui sont engendrés par les commutateurs, c'est-à-dire des produits d'un certain nombre de commutateurs, mais ces produits ne sont pas forcément des commutateurs, c'est cela ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Croire que le sous-groupe engendré par les commutateurs d'un groupe est toujours composé que de commutateurs c'est un peu comme croire que le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ engendré par les vecteurs de coordonnées $(0,0,1)$ et $(1,0,0)$ est composé de seulement deux vecteurs.
PS:
Comme déjà mentionné un exemple de groupe avec son sous-groupe engendré par les commutateurs qui n'est pas composé que de commutateurs n'est pas simple à produire.
Je vais faire reposer le cerveau!
Attention : le sous-groupe engendré par une partie $A$ d'un groupe $G$ est l'ensemble des produits $x_1 \dotsm x_n$ ($n\in \N$) d'éléments de $A$ et d'inverses d'éléments de $A$.
Dans un groupe fini, l'inverse d'un élément $x$ est toujours une puissance de $x$ car $x$ est d'ordre fini (qui divise l'ordre du groupe), mais attention à ne pas oublier les inverses dans les groupes infinis.