Groupe multiplicatif

Bonjour.

Quand on écrit $1+2+3+\cdots+20=\sum\limits_{i=1}^{20} i$, s'agit-il du même i dans la somme ?

Cordialement.

Prenons un exemple. Soit $G$ l'ensemble des racines sixièmes de l'unité. En posant $\zeta_k=\exp\frac{2k\pi\mathrm{i}}6$, on a donc : $G=\{\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3,\zeta_4,\zeta_5\}$. Note que $\zeta_k\zeta_\ell=\zeta_{k+\ell}$ pour tout $k,\ell\in\Z$. Prenons $u=\zeta_2$. Les deux produits suivants sont visiblement égaux :
\begin{align*}\prod_{x\in G}x&=\prod_{k=0}^5\zeta_k=\zeta_0\zeta_1\zeta_2\zeta_3\zeta_4\zeta_5\;;\\
\prod_{x\in G}(ux)&=\prod_{k=0}^5(\zeta_2\zeta_k)=\prod_{k=0}^5\zeta_{k+2}=\zeta_2\zeta_3\zeta_4\zeta_5\zeta_0\zeta_1.\end{align*}

Et si on te dit que $\sum\limits_{i=1}^{20} i = \sum\limits_{i \in \{1, \dots, 20\}} i$ ?

@rrabrotreux : Dire que l'application est bijective, c'est dire que dans chacun des produits ($\prod_{x\in G}x$ et $\prod_{x\in G}(ux)$), les mêmes facteurs apparaissent (dans un ordre différent).

Pour un autre exemple, vois ici : comment décrypterais-tu ces deux sommes ?

Bonsoir,

Soit $u\in{G}$ arbitrairement choisi et posons $b_u(g)=u.g$ pour tout $g\in{G}$. Ainsi a-t-on $b_u\in\mathfrak{S}(G)$. Partant, par associativité et commutativité de la loi interne $.$ sur $G$, l'on a\[\prod\limits_{g\in{G}}b_u(g)=\prod\limits_{g\in{G}}(u.g)=u^n\,\left(\prod\limits_{g\in{G}}g\right)=\prod\limits_{g\in{G}}g\]vu que $\mathrm{card}\,G=n$ et donc que $u^n=e$.

Cordialement,

Thierry

@Thierry POMA : tu as raison mais ce qui bloque raboteux, c'est la première égalité de la formule centrée.

@raboteux : Imagine que tu aies une bijection $\sigma:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$. (Pour un exemple explicite, $n=20$, $\sigma(k)=21-k$ pour $k\in\{1,\dots,20\}$.) La somme $\sum_{k=1}^n\sigma(k)$ est la somme de tous les éléments $\sigma(k)$ (dans l'exemple : les entiers de $1$ à $20$ numérotés à l'envers) : comme $\sigma$ est une bijection, tous les éléments de $\{1,\dots,n\}$ apparaissent une fois et une seule : autrement dit, la somme est égale à $\sum_{k=1}^nk$. De même, si on avait un produit, $\prod_{k=1}^n\sigma(k)$ est égal à $\prod_{k=1}^nk$.

Dans notre cas, au lieu que l'ensemble des indices soit $\{1,\dots,n\}$, c'est un groupe (fini et commutatif) $G$. Le produit $\prod_{x\in G}x$ est le produit de tous les éléments de $G$, chacun apparaissant une fois. Si on fixe une bijection $\sigma$ de $G$ dans $G$ (ce que Thierry note $b_u$), le produit $\prod_{x\in G}\sigma(x)$ est le produit de tous les éléments $\sigma(x)$. Mais pour tout élément $y$ de $G$, il existe un unique $x$ tel que $y=\sigma(x)$. Cela signifie que tout élément $y$ de $G$ apparaît une fois et une seule dans le produit. Autrement dit, $\prod_{x\in G}\sigma(x)$ est le produit $\prod_{y\in G}y$. Mais c'est aussi évidemment $\prod_{x\in G}x$ : la variable $x$ est muette, comme l'est $y$ dans le produit précédent et les deux notations désignent, une dernière fois, le produit de tous les éléments de $G$.

Le changement de variables vient juste du fait que, $x \mapsto ux$ est une bijection de $G$ dans lui-même, $$\{x \in G\} = \{ux \in G\}.$$

Au passage, c'est bien parce que le groupe est supposé commutatif que l'on obtient l'égalité. On fait le produit des mêmes termes, mais dans un ordre différent, du à la renumérotation comme dit Math Coss. Si l'ordre des termes comptait (c'est-à-dire si le groupe n'était pas commutatif), on aurait des problèmes.