anneaux / nilpotence

Bonsoir,

En vertu du théorème de Gauss, l'on a\[(\forall\,k)\left((k\in\Bbb{N}\text{ et }1\leqslant{k}\leqslant{p-1})\Rightarrow\mathrm{pgcd}(k,\,p)=1\Rightarrow\mathrm{pgcd}(k!,\,p)=\mathrm{pgcd}\left(\prod\limits_{l=1}^kl,\,p\right)=1\right)\]

Cordialement,

Thierry

Bonsoir,
Et je signale cette alternative au binôme de Newton et à la divisibilité des coefficients binomiaux, pour démontrer que $(x+y)^p=x^p+y^p$ dans tout corps $k$ de caractéristique non nulle $p$. On fixe un $y\in k$ et on remarque que le polynôme dérivé de $S=(X+y)^p\in k[X]$ est nul. Donc $S$ est de la forme $X^p+c$ avec $c\in k$ qu'on trouve facilement.

Comme $p$ est premier la condition $k < p$ implique automatiquement que $k$ et $p$ sont premiers entre eux (c'est équivalent au fait que $p$ ne divise pas $k$). Pour le fait que $p$ ne divise pas $k!$ il suffit de s'intéresser aux facteurs premiers de $k!$.

Pour la première question, on donne une égalité d'idéaux : l'idéal engendré par $x^n$ dans $A$ est le même que celui engendré par $x^p$ dans $A$. De plus même s'ils étaient différents il ne faudrait pas s'inquiéter du fait qu'ils aient des éléments en communs. Par exemple les idéaux $2\mathbb Z$ et $4 \mathbb Z$ de $\mathbb Z$ sont différents mais ont $4$ en commun (et en fait tout $4 \mathbb Z$ puisqu'il est inclus dans l'autre).

Pour la suite, cela semble être une faute de frappe, on devrait trouver $x^n(1-x^{n-p}a)=0$, ce qui fait sens puisque $n > p$ par hypothèse.

Oui c'est bien $j_k$ au lieu de $j_k'$. L'essentiel est de comprendre ce qui est fait, on réindexe les éléments apparaissant dans la somme définissant $y$ pour obtenir une jolie somme pour $x-y$ et vérifier qu'il est bien dans $IJ$.

Non cela ne revient pas au même. Pour vérifier qu'une partie d'un anneau est un idéal il y a deux choses à vérifier : qu'il s'agit d'un sous-groupe pour l'addition et qu'elle est absorbante pour la multiplication. Or, pour montrer qu'une telle partie $I$ est bien un sous-groupe pour l'addition, on peut s'y prendre de plusieurs manières :

1) La méthode "bourrine" où on montre que $I$ est non vide, que $I$ est stable par somme, et enfin que $I$ contient les opposés de ses éléments.
2) La méthode économique où on montre que $I$ est non vide et est stable par différence.

Ces deux choses-là sont équivalentes (c'est un bon petit exercice sur les définitions). Si ton correcteur ne vérifie que la stabilité par somme, il fait un oubli.