groupes distingués

Tu sembles confondre beaucoup de choses. Dans ton énoncé conjectural, $\varphi$ ne joue aucun rôle vis-à-vis de $H$, et finalement tu déduis de l'hypothèse que $H$ est un sous-groupe de $G$ qu'il est un sous-groupe distingué de $G$ !

En tout cas, la propriété à laquelle tu sembles référer est "l'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un morphisme de groupes est un sous-groupe distingué". La démonstration est immédiate en utilisant les définitions.

Pour la propriété donnée par Calais, il s'agit dans un sens de ce que j'ai dit au-dessus, puisque le noyau d'un morphisme de groupes est l'image réciproque du sous-groupe trivial par ce morphisme de groupes, et dans l'autre sens, il s'agit du fait que si $H$ est distingué, alors il s'agit du noyau du morphisme de passage au quotient $G \to G/H$.

Oui, je l'ai dit dans mon message, en disant que la démonstration était immédiate.

Bonsoir Morgatte
Ben non, ce n'est pas correct.
Quel sens donnes-tu à "$\varphi^{-1}(g')$" ?
Hormis le fait que tu n'as pas dit ce qu'était $g'$, mais que l'on devine être un élément de $G'$,
$\varphi$ est une application $G\to G'$, a priori non bijective, donc $\varphi^{-1}(g')$ n'a pas de sens.
Cependant $\varphi$ induit une application entre parties $\varphi^{-1}:\mathfrak P(G') \to \mathfrak P(G)$ définie par $\varphi^{-1}(X)=\{g\in G\mid \varphi(g) \in X\}$, pour tout $X\in \mathfrak P(G') $.
C'est pour cela que l'on peut écrire $\varphi^{-1}(H')$, où $H'$ est une partie (c'est même un sous-groupe) de $G'$. On pourrait imaginer que $\varphi^{-1}(g')$ soit un abus d'écriture pour $\varphi^{-1}(\{g'\})$, mais c'est alors une partie de $G$ qui en général contient plusieurs éléments de $G$ ou même peut être $\varnothing$ si $g'\notin \mathrm{im\,}\varphi$.
Dans tous les cas ce n'est pas ce que tu espères !

Pour rédiger, il faut mettre des quantificateurs, sinon ton discours est imprécis.
Tu veux montrer que si $H'\lhd G'$ alors $H=\varphi^{-1}(H')\lhd G$.
Là, cela a un sens, $\varphi^{-1}(H')$ est une partie de $G$ et dans ton cours on t'a montré que c'est un sous-groupe de $G$ (sinon montre le en exercice).
Alors tu commences : pour tout $g\in G$, montrons que $gHg^{-1} = H$.
Prenons l'image par $\varphi$ du membre de gauche : $\varphi(gHg^{-1})=\varphi(g)\varphi(H)\varphi(g)^{-1}$.
Par définition de $H$, $\varphi(H)=H'$ et d'autre part, $\varphi(g)\in G'$. Donc puisque $H'$ est distingué dans $G'$, on obtient $\varphi(gHg^{-1})=\varphi(g)H'\varphi(g)^{-1} = H'$.
En prenant alors l'image par $\varphi^{-1}$ (application $\mathfrak P(G') \to \mathfrak P(G)$) on obtient que $gHg^{-1}=\varphi^{-1}(H')=H$.
Ce que tu voulais démontrer.

Alain

AD a beaucoup détaillé, mais la démonstration ne fait au final que trois ou quatre lignes. C'est le genre de petites propriétés qui découlent directement des définitions, on ne fait qu'utiliser celles-ci.

Schématiquement : on prend $g \in G$, on veut montrer que $gH'g^{-1}=H'$, c'est-à-dire que $\{gxg^{-1}, x \in G \text{ tel que } \varphi(x) \in H\} = H'$. Or si $\varphi(x) \in H$, on a aussi $\varphi(gxg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(x)\varphi(g)^{-1} \in H$ puisque $H$ est distingué dans $G'$, ce qui prouve que $gH'g^{-1} \subset H'$. Ceci étant vrai pour n'importe quel $g \in G$, on en déduit en prenant $h=g^{-1}$ que $H'=h(gH'g^{-1})h^{-1} \subset hH'h^{-1}$. Ceci étant à nouveau vrai pour n'importe quel $h \in G$, on a bien montré que $H'=gH'g^{-1}$ pour tout $g \in G$.

Au passage ta notation de $G'$ est plutôt malvenue (mais tu ne pouvais sûrement pas le savoir) car souvent $G'$ désigne un sous-groupe particulier du groupe $G$ (son sous-groupe dérivé).