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groupe maximal

raboteuxraboteux
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Voici un exercice sur les groupes maximaux :

1514727156-groupe-maximal.png

Je n'arrive pas à comprendre le corrigé, à partir du "Mais alors" et ce qui suit jusqu'à la première conclusion, notamment l'inclusion du sous groupe engendré par S dans ce qui semble être un produit de sous groupe? Mais est ce bien ce que je crois?

Merci pour tout.

Réponses

  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Ne pas oublier que $a$ appartient à tout sous-groupe propre maximal de $G$, en particulier à $G_i$. Puisque $S\setminus \{a\}$ est contenu dans $G_i$ et que $a$ appartient à $G_i$, on a $\langle S\rangle\subset G_i$, ce qui contredit $\langle S\rangle = G$. On en déduit $\langle S\setminus \{a\}\rangle =G$ (il y a une coquille dans le corrigé, qui écrit $\neq G$).
  • raboteuxraboteux
    Merci pour tout, en deux lignes, tu as fait plus clair que la correction en 5 lignes.
  • GaBuZoMeuGaBuZoMeu
    Je n'ai explicité et rectifié qu'une seule ligne du corrigé.
  • raboteuxraboteux
    Je me permets d'en poster un autre qui me pose problème :

    1514738940-exo-puissance-2.png

    Dans la correction, ce qui me pose problème c'est que je ne comprends pas ce qui permet d'affirmer que xyxy=e.
    En effet, si on l'amène comme cela : xyxy=(xy)²=x²y²=e, on suppose déjà que x et y commutent (c'est justement ce qu'on doit démontrer), il me semble avoir lu dans des cours que (xy)m=xmym seulement si x et y commutent..
    Pour la puissance de 2, j'ai du mal avec le formalisme de la correction. Tous les éléments du groupes sont d'ordres 2, avec x=x-1, donc j'aurai tendance à utiliser l'idée que le groupe est la réunion de sous groupes d'ordre 2.
    Comme chaque sous groupe contient un élément plus le neutre mais je dois faire fausse route car je n'arrive pas à obtenir le 2n par cette méthode....
  • Thierry PomaThierry Poma
    Bonsoir,

    Si $x$ et $y\in{G}$, alors $x\,y\in{G}$ est nécessairement tel que $x\,y\,x\,y=(x\,y)^2=e$.

    Cordialement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Math CossMath Coss
    C'est que $xy$ est un élément d'ordre au plus $2$, tout simplement, de même que $x$ et $y$ (ce qui est utilisé sous la forme $x=x^{-1}$ et $y=y^{-1}$).

    Edit : Sir! Yes, Sir!
  • killersmile38killersmile38
    @raboteux: Tous les éléments sont d'ordre au plus $2$ , pas d'ordre $2$.

    @mathcoss: $xy$, pourrait très bien être d'ordre $1$, tout comme $x$ ou $y$.
  • raboteuxraboteux
    Merci à tous les deux. J'avais pensé à tout sauf bien sûr que çà découlait de la stabilité...B-)-
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