Cardinal d'un sous-groupe

raboteux
raboteux
dans Algèbre
Bonsoir à tous
Il y a deux chapitres de cours sur les groupes qui me posent un problème de compréhension.
D'une part la définition d'un sous-groupe engendré par un élément :

1514667372-extrait-1-cours.png

Et d'autre part la notion d'ordre fini d'un élément et le lien avec le cardinal du sous-groupe engendré par cet élément d'ordre fini :

1514668217-extrait-2-cours.png

Maintenant, je vous explique ce qui me chagrine et que je ne comprends pas (ou de travers).
Prenons pour cela l'exemple d'un élément "a" d'ordre 3 par exemple, pour lequel d'après la définition, a3=e

D'après le théorème (deuxième extrait), le cardinal du sous-groupe que cet élément engendre serait 3.
Mais le premier extrait qui définit la composition d'un sous-groupe engendré par un élément dit qu'il comprend tous ses itérés (avec k=Z), donc potentiellement une infinité ...

Alors, quels sont donc les éléments qui composent ce sous-groupe ?
Voilà comment je me l'imagine en terme de composition :
[a-3=e, a-2, a-1 ; a0=e ; a1 ; a2 ; a3=e]
Sur les 7 éléments que j'ai listés ci-dessus, 3 sont des neutres, il reste donc 4 et pas 3 comme le deuxième extrait de cours le dit ...

Bref, je sais que je comprends forcément quelques chose de travers, mais j'aimerais bien que vous me disiez où je fais erreur car ça m'agace ...

[Il y a toujours un trait d'union entre un sous et un truc qu'il qualifie : sous-groupe, sous-espace, sous-ensemble. etc. ;-) AD]

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    Si $a^3=e$ alors $a^{-1}=a^2$, par exemple...

    Cordialement.
  • gerard0
    gerard0
    Dans la définition d'un sous-groupe, il n'est jamais dit que les éléments sont différents. Il n'y en a qu'un pour <e>.

    Cordialement.
  • raboteux
    raboteux
    Effectivement, je me sens bête....
    Par le même raisonnement, on a a-2=a je suppose?
    Donc ça fait 2 éléments différents sans compter le neutre, soit 3 avec, donc on retombe sur nos pattes...
  • Dom
    Dom
    En effet c'est ça.

    Remarque : il me paraît opportun de rappeler que $a^{-2}$ est l'écriture de $(a^{-1})^2$ et que c'est le même élément que $(a^2)^{-1}$. Savoir faire la preuve de ces choses là peut apporter quelques facilités.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Dans un groupe $G$ qui n'est pas composé d'un ensemble fini d'éléments distincts si $a$ est un tel élément alors le sous-groupe <a>, le sous-groupe engendré par la partie $\{a\}$ n'est pas nécessairement fini.
    Si $G$ est un groupe d'ordre fini alors tous ses éléments sont d'ordre fini.

    Par ailleurs, si $x$ appartient à $G$ et si $x^4=e$, $e$ l'élément neutre de $G$, alors $x$ n'est pas nécessairement d'ordre $4$. (mais son ordre divise $4$)

    L'ordre d'un élément est comme une période pour la fonction de $\mathbb{N}$ (on suppose que le cardinal de $G$ est fini) dans $G$ définie par $n\mapsto g^n$ ($g$ un élément de $G$).

    L'ordre d'un élément $a$ d'un groupe fini est le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a^n=e$. ($e$ l'élément neutre du groupe)

    (merci AD. Une faute d'orthographe à corriger)
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