Réduction de matrice de rang 1 (niveau PC)

Fabrice2
Fabrice2
dans Algèbre
Bonjour,
je souhaite traiter l'exercice en pièce jointe; l'ordre dans lequel les questions sont posées ayant certainement leur importance.
Pour la première question : montrer que le polynôme caractéristique est égal à $\chi_A(X) = X^{n-1} (X - tr(A))$, je remarque que la matrice A n'étant pas inversible (de rang 1 < n) , 0 est une valeur propre de A, donc racine $\chi_A$. Je sais aussi grâce au théorème du rang
que dim Ker A = n-1 inférieur ou égal à la multiplicité de 0. D'où la multiplicité de 0 égale à n-1 ou n.
Maintenant comment montrer que tr(A) est aussi valeur propre de A ? Merci d'avance !69850

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Si tu trigonalises $A$, il devrait t'apparaître clairement le fait que la trace de $A$ est bien valeur propre !
  • roumegaire
    roumegaire
    Certes, mais cela ne correspond pas à l'enchaînement des questions...
  • Poirot
    Poirot
    Bah sinon on invoque le fait que la trace est la somme des valeurs propres dans $\mathbb C$, mais ça nécessite de trigonaliser à un moment...

    Ou sinon on prend les devant de la question 2 et on complète une base du noyau en une base de l'espace tout entier.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Le coefficient de $X^{n-1}$ dans le polynôme caractéristique $\chi_M$ d'une matrice $M$ de taille $n$ est toujours $-\mathrm{tr}(M)$, ce qui se voit à partir de la définition $\chi_M=\det(XI_n-M)$.
  • roumegaire
    roumegaire
    La trace est l'opposé du coefficient du terme de degré (n-1) dans le polynôme caractéristique. La conclusion en découle.
  • Fabrice2
    Fabrice2
    Merci pour vos réponses, concernant la formule incomplète et la trace comme somme des valeurs propres (pour ce deuxième argument on peut en effet utiliser qu'une matrice carrée est toujours trigonalisable dans C). Aussi j'ai pu traiter les questions suivantes jusqu'à la (c).

    Concernant la (d), je me dis qu'il faut certainement montrer que cette matrice est de rang 1 (à conditions toutefois que (a,b,c) soit différent de (0,0,0) ) et utiliser les questions précédentes. On dirait alors que cette matrice est diagonalisable ssi sa trace est non nulle c'est à dire ssi a+b+c différent de 0. Certes, mais comment établir que cette matrice est de rang 1 (si c'est vrai) ?
  • michael
    michael
    Salut Fabrice2,

    la matrice de la question d n'a aucune raison d'être de rang $1$.
    Par exemple, pour $a=1$, $b=c=0$, sauf erreur de ma part, cette matrice est inversible (elle est triangulaire supérieure, son déterminant est donc facile à calculer pour s'en convaincre).

    Pour t'aider dans cette question, je ne vois pas d'autre idée que de calculer le polynôme caractéristique et de différencier les cas suivants les valeurs de $a$, $b$ et $c$ (mais peut-être que quelqu'un de plus astucieux que moi va venir te donner une autre piste).

    m.
  • Ritchie
    Ritchie
    Bonsoir,

    Je note $M$ la matrice de la question d. On peut remarquer que $M+(a+b+c)\operatorname{I}_3$ est de rang $1$.

    Bien cordialement,

    Ritchie
  • Fabrice2
    Fabrice2
    Bonsoir,

    Merci Ritchie, avec cette indication, plus le fait qu'un endomorphisme f est diagonalisable ssi f - cte . id est diagonalisable, je devrais m'en sortir ...
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