Complément de Schur défini positif

Enalde98 · November 2017

Je m'en remets vers vous pour chercher de l'aide sur une question liée au complément de Schur.

J'ai une matrice $A$ décomposée par blocs de sous-matrices cette manière là :
$A =
\begin{pmatrix}
B & C^T \\
C & D
\end{pmatrix}$

Je cherche alors à prouver que : A est définie positive équivaut à
$S = D - CB^{-1}C^T$ est définie positive (complément de Schur).

Merci d'avance pour votre aide !

Tonm · November 2017

Bonjour, tu peux voir: https://anhngq.wordpress.com/2009/07/26/on-the-positive-definite-property-of-the-schur-complement/

c'est $X^*AX\ge 0$ si et seulement si $A\ge 0$.

P. · November 2017

$$A=\left[\begin{array}{cc}I&0\\CB^{-1}&I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}B&0\\0&D-CB^{-1}C^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I&B^{-1}C^T\\0&I\end{array}\right].$$

Ritchie · November 2017

Bonjour,

J'avais (jadis) fait un petit topo sur le complément de Schur : lien.

On retrouve les idées évoquées précédemment.

Bien cordialement,

Ritchie

Math Coss · November 2017

Dans ce message comme dans celui-ci, il est écrit qu'une matrice $A=\left(\begin{smallmatrix}B&C^T\\C&D\end{smallmatrix}\right)$ est définie positive SSI son complément de Schur $S = D - CB^{-1}C^T$ l'est. Est-ce que la bonne équivalence ne serait pas : $A$ définie positive SSI $S$ et $B$ le sont ?

Ritchie · November 2017

Bonjour,

Dans le lien que j'ai indiqué, il est supposé (dans le corollaire 3) que $B$ (avec les notations de ce fil) est définie positive. C'est effectivement nécessaire.

Bien cordialement,

Ritchie

Complément de Schur défini positif

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 25