Complément de Schur défini positif
Je m'en remets vers vous pour chercher de l'aide sur une question liée au complément de Schur.
J'ai une matrice $A$ décomposée par blocs de sous-matrices cette manière là :
$A =
\begin{pmatrix}
B & C^T \\
C & D
\end{pmatrix}$
Je cherche alors à prouver que : A est définie positive équivaut à
$S = D - CB^{-1}C^T$ est définie positive (complément de Schur).
Merci d'avance pour votre aide !
J'ai une matrice $A$ décomposée par blocs de sous-matrices cette manière là :
$A =
\begin{pmatrix}
B & C^T \\
C & D
\end{pmatrix}$
Je cherche alors à prouver que : A est définie positive équivaut à
$S = D - CB^{-1}C^T$ est définie positive (complément de Schur).
Merci d'avance pour votre aide !
Réponses
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Bonjour, tu peux voir: https://anhngq.wordpress.com/2009/07/26/on-the-positive-definite-property-of-the-schur-complement/
c'est $X^*AX\ge 0$ si et seulement si $A\ge 0$. -
$$A=\left[\begin{array}{cc}I&0\\CB^{-1}&I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}B&0\\0&D-CB^{-1}C^T\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I&B^{-1}C^T\\0&I\end{array}\right].$$
-
Dans ce message comme dans celui-ci, il est écrit qu'une matrice $A=\left(\begin{smallmatrix}B&C^T\\C&D\end{smallmatrix}\right)$ est définie positive SSI son complément de Schur $S = D - CB^{-1}C^T$ l'est. Est-ce que la bonne équivalence ne serait pas : $A$ définie positive SSI $S$ et $B$ le sont ?
-
Bonjour,
Dans le lien que j'ai indiqué, il est supposé (dans le corollaire 3) que $B$ (avec les notations de ce fil) est définie positive. C'est effectivement nécessaire.
Bien cordialement,
Ritchie
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Bonjour!
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