Entiers d'Eisenstein (classique)

@majax
Il faut suivre les conseils de flip-flop. Et attention, si tu ne le fais pas, il le saura, car c'est un sorcier.

Une fois réalisée cette étape géométrique, tu pourras envisager quelque chose de plus algébrique en travaillant en coordonnées sur $(1,j)$

(1) Pour $x, y \in \Q$, on a, en notant $N$ la norme ALGEBRIQUE i.e. $N(z) = z\overline z$ :
$$
N(x + jy) = \left( x - {y \over 2}\right)^2 + {3 \over 4} y^2
$$
Montre cela de la manière la plus jolie qui soit.

(2) Pour tout $z = x + yj \in \Q(j)$, il existe $z' = x' + jy' \in \Z[j]$ tel que $N(z-z') < 1$.
A toi de le montrer

(3) Conclure. Bon courage.

Vous ne voyez pas des triangles équilatéraux de côté $1$ plutôt que des parallélogrammes, vous ?!
Dans un triangle, le point le plus loin de tous les sommets est le centre du cercle circonscrit (sinon, en se rapprochant de la médiatrice d'un côté, on s'éloigne d'un sommet tout en restant plus proche de ce sommet que de l'autre extrémité du côté). Et dans un triangle équilatéral de côté $1$, la distance du centre à un sommet est plus petite que $1$.

Bonne idée la partie entière mais il faut aller un peu plus loin. Pour tout réel $x$ il existe un entier $x'$ tel que $|x-x'| \leq 1/2$.

On peut rédiger sans référence au dessin.
$\bullet$ Si $u\in \mathbb{R}$ et $v\in \mathbb{R}$, alors : $\left\vert u+vj\right\vert ^{2}=u^{2}-uv+v^{2}$.
$\bullet$ Si $x\in \mathbb{R}$, il existe $x^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que : $\left\vert x^{\prime }-x\right\vert \leq \frac{1}{2}$. Prendre $x^{\prime }=\left\lfloor x+\frac{1}{2}\right\rfloor $ (c'est comme ça qu'on note la partie entière « plancher » au jour d'aujourd'hui et c'est une bonne notation).
$\bullet$ Soit $z=x+yj\in \mathbb{C}$, $x\in \mathbb{R}$ ,$y\in \mathbb{R}$. Soit $x^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que : $\left\vert x^{\prime }-x\right\vert \leq \frac{1}{2}$, et soit $y^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que : $\left\vert y^{\prime }-y\right\vert \leq \frac{1}{2}$.
Alors $z'=x'+y'j\in \mathbb{E}= \mathbb{Z}[j]$, et $z'-z=(x'-x)+(y'-y)j$, et :
$\left\vert z^{\prime }-z\right\vert ^{2}=(x^{\prime }-x)^{2}-(x^{\prime}-x)(y^{\prime }-y)+(y^{\prime }-y)^{2}\leq \left\vert x^{\prime}-x\right\vert ^{2}+\left\vert x^{\prime }-x\right\vert \left\vert y^{\prime}-y\right\vert +\left\vert y^{\prime}-y\right\vert ^{2}\leq \frac{3}{4}$.
D'où : $\left\vert z^{\prime }-z\right\vert \leq \frac{\sqrt{3}}{2}<1$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
13/09/2017

Merci pour cette appréciation élogieuse, mais je n'ai pas inventé ça. On le trouve dans pas mal d'ouvrages de Théorie des Nombres, c'est un ingrédient indispensable pour établir l'euclidianité de l'anneau des entiers d'Eisenstein $ \mathbb{E}= \mathbb{Z}[j]$.
Mais il y a comme un regret.
Pour tout $z\in \mathbb{C}$, soit comm' d'hab' : $ \displaystyle d(z,\mathbb{E})=\underset{t\in \mathbb{E}}{\inf }\left\vert z-t\right\vert $. Comme $\mathbb{E}$ est fermé, cet $\inf $ est un $\min $.
J'ai prouvé que pour tout $z\in \mathbb{C}$, on a : $d(z,\mathbb{E})\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$. D'où : $\displaystyle \underset{z\in \mathbb{C}}{\sup }d(z,\mathbb{E})\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$. Ce $\sup $ est un $\max $, et quel est ce $\max $ ?
Revoyons l'interprétation géométrique exposée plus haut avec dessin à l'appui. Chaque point de $ \mathbb{C}$ est situé dans un des triangles équilatéraux qui sont les « alvéoles » du réseau $\mathbb{E}$ et dans chacune le point le plus éloigné de $\mathbb{E}$ est le centre du cercle circonscrit à ce triangle équilatéral, et sa distance à $\mathbb{E}$ est le rayon de ce cercle circonscrit, soit $\frac{\sqrt{3}}{3}$, en sorte que : $\displaystyle \underset{z\in \mathbb{C}}{\max }d(z,\mathbb{E})= \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Dans mon précédent message, j'ai prouvé : $\forall z\in \mathbb{C},\exists z^{\prime }\in \mathbb{E},\left\vert z^{\prime }-z\right\vert \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$. La meilleure constante à mettre à la place de $\frac{\sqrt{3}}{2}$ est donc $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Mais comment le démontrer par le seul calcul, sans recours à la figure ?
Bonne nuit.
Fr. Ch.
13/09/2017

La méthode que j'ai rappelée (et non inventée !) ne s'applique pas à $d=-7$ ni à $d=-11$. Pour ces deux valeurs, on peut recourir à la géométrie élémentaire comme il a été dit plus haut, et considérer le rayon du cercle circonscrit au triangle isocèle dont les sommets ont pour affixes : $0,1, \frac{1+i\sqrt{-d}}{2}$. C'est ce que fait par exemple le problème d'agrégation de 1989. On peut sans doute trouver une méthode purement calculatoire.
Sauf erreur, il s'agit des seuls anneaux d'entiers quadratiques imaginaires qui soient euclidiens pour la norme. Pas étonnant que « ça capote » ensuite...
Cette méthode peut aussi servir à démontrer l'euclidianité de certains anneaux d'entiers quadratiques réels : $d=2, d=5$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Math Coss Bonjour,
la réponse est ici dans ce sujet :
Sujet d'agrégation MG 1989
Cordialement.

[Inutile de recopier le message précédent. AD]

Une curiosité, ce sont les anneaux d'entiers algébriques qui sont euclidiens, mais avec un stathme qui n'est pas la norme :
http://www.math.clemson.edu/~jimlb/CourseNotes/AbstractAlgebra/EuclideanNotNormEuclidean.pdf

Personne n'a relevé l'horrible pléonasme de Chaurien, "au jour d'aujourd'hui" ? Il faut qu'on se serre les coudes, si même le meilleur d'entre nous mutile la langue de Molière, on est cuit.e.s !

Eh bien ! On en apprend des choses, ici !

Voici une démonstration purement calculatoire comme je souhaitais.
Soit $d\in \mathbb{N}$, $d\equiv 3 \pmod 4$ et soit $\omega =\frac{1+i\sqrt{d}}{2}$.
Si $u\in \mathbb{R}$ et $v\in \mathbb{R}$, alors : $\left\vert u+v\omega \right\vert ^{2}=(u+\frac{v}{2})^{2}+v^{2}\frac{d}{4}$.
Soit $z\in \mathbb{C}$, $z=x+y\omega $, $x\in \mathbb{R}$, $y\in \mathbb{R}$.
Il existe $y^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que : $\left\vert y^{\prime }-y\right\vert \leq \frac{1}{2}$.
Il existe $x^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que : $\left\vert x^{\prime }-(x-\frac{1}{2}(y^{\prime }-y))\right\vert \leq \frac{1}{2}$.
Soit $z^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime }\omega $, qui est élément de $\mathbb {Z}[\omega]$. Alors : $z^{\prime}-z=(x^{\prime }-x)+(y^{\prime }-y)\omega $, d'où :
$\left\vert z^{\prime }-z\right\vert ^{2}=((x^{\prime }-x)+\frac{1}{2}(y^{\prime }-y))^2+(y^{\prime }-y)^{2}\frac{d}{4}\leq \frac{4+d}{16}$.
Pour $d=3,7,11$, il s'ensuit : $\left\vert z^{\prime }-z\right\vert ^{2} \leq \frac{15}{16}<1$.
Ceci prouve l'euclidianité de l'anneau $\mathbb {Z}[\omega]$ pour $d=3,7,11$.
Cette démonstration non plus je ne l'ai pas inventée, je l'ai trouvée dans : I. N. Stewart, D. O. Tall, Algebraic Number Theory, Chapman and Hall, 1979, p. 93, et juste un peu adaptée.
La question reste posée, de prouver la formule donnant $\displaystyle \underset{z\in \mathbb{C}}{\max}d(z,\mathbb {Z}[\omega])$ par le seul calcul. On n'en a plus besoin pour l'euclidianité, mais c'est intéressant en soi. J'avais soulevé cette question de distance d'un point à un réseau, mais ça n'a pas eu beaucoup de succès, à part quelques remarques pertinentes de GBZM...
Bon dimanche.
Fr. Ch.