fake degré

Bonjour à tous
J'ai quelques problèmes sur la notion de fake degré, voici le problème.

Soient $V$ un $ \mathbb{C}$ espace vectoriel de dimension finie, $G \subset GL(V)$ un sous-groupe fini. Notons $S(V)$ l'algèbre symétrique de $V$ et $I =
(S(V)_+^G)$ l'idéal engendré par les éléments homogènes de degré strictement positif invariants par l'action de $G$. On regarde le quotient $S/I$ qu'on appelle algèbre des covariants de $G$. $G $ agit aussi sur $S/I$. $S/I$ est graduée par les entiers positifs (de part la graduation de $S$) et l'action de $G$ préserve la graduation de $S/I$. On a donc pour tout entier $d $ positif une représentation de $G$ donnée par les éléments homogènes de degré $d $ c'est-à-dire $ (S/I)_d$. Soit maintenant une autre représentation $\mathcal{U}$ de $G$ de caractère $\chi$. Notons $\chi_d$ le caractère de $ (S/I)_d$. On définit le fake degré comme étant la série : $$
f^{\,\mathcal{U}}(T)= \sum_{d \geq 0} (\chi, \chi_d)T^d .
$$ Il se trouve que $S/I$ est isomorphe en tant que représentation à la représentation régulière de $G$, on a donc $f^{\mathcal{U}}(1)= \dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{U})$. Alors il semblerait qu'on puisse réécrire le fake degré comme un polynôme donné par : $$
f^{\,\mathcal{U}}(T)= \sum_{i = 0}^{\dim \mathcal{U}} T^{e_i} ,
$$ où $ e_1 \leq e_2 \ldots \leq e_{\dim(\mathcal{U})} $

Je ne comprends pas bien comment cette égalité est obtenue. Merci de vos réponses.