Début sur les groupes produits
Bonjour
J'ai vu la correction d'un exercice sur les groupes produits, mais je ne comprends pas.
Enoncé :
Le groupe additif ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) est-il isomorphe au groupe produit des groupes additifs ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) ?
Solution :
Nous savons que ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) est un groupe cyclique, donc monogène. Considérons maintenant un élément quelconque $(\overline{x}, \overline{y})$ du groupe produit des groupes ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) (groupe que l'on notera ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$)) et calculons :
$4(\overline{x}, \overline{y}) = (4\overline{x}, 4\overline{y}) = (\overline{0}, \overline{0})$
On en déduit que l'ordre d'un tel élément dans le groupe produit considéré est au plus 4. Ce groupe ne saurait donc être monogène. Ainsi ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) ne sont donc pas des groupes isomorphes.
Mes questions :
Je me dis que ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$) = {$\overline{0}, \overline{1}$}
et que ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$) = {$\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} $}
puis ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$) = {$ (\overline{0}, \overline{0}), (\overline{1}, \overline{0}), (\overline{0}, \overline{1}), (\overline{1}, \overline{1}), (\overline{0}, \overline{2}), (\overline{1}, \overline{2}), (\overline{0}, \overline{3}), (\overline{1}, \overline{3})$}
Oups, en l'écrivant je viens de comprendre pourquoi $4(\overline{x}, \overline{y}) = (4\overline{x}, 4\overline{y}) = (\overline{0}, \overline{0})$ donc OK
Deuxième interrogation... Si ce groupe n'est pas monogène, à partir de quels gènes on le forme ? Comment ça s'écrit < > ?
Merci.
J'ai vu la correction d'un exercice sur les groupes produits, mais je ne comprends pas.
Enoncé :
Le groupe additif ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) est-il isomorphe au groupe produit des groupes additifs ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) ?
Solution :
Nous savons que ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) est un groupe cyclique, donc monogène. Considérons maintenant un élément quelconque $(\overline{x}, \overline{y})$ du groupe produit des groupes ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) (groupe que l'on notera ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$)) et calculons :
$4(\overline{x}, \overline{y}) = (4\overline{x}, 4\overline{y}) = (\overline{0}, \overline{0})$
On en déduit que l'ordre d'un tel élément dans le groupe produit considéré est au plus 4. Ce groupe ne saurait donc être monogène. Ainsi ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) ne sont donc pas des groupes isomorphes.
Mes questions :
Je me dis que ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$) = {$\overline{0}, \overline{1}$}
et que ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$) = {$\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} $}
puis ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$) = {$ (\overline{0}, \overline{0}), (\overline{1}, \overline{0}), (\overline{0}, \overline{1}), (\overline{1}, \overline{1}), (\overline{0}, \overline{2}), (\overline{1}, \overline{2}), (\overline{0}, \overline{3}), (\overline{1}, \overline{3})$}
Oups, en l'écrivant je viens de comprendre pourquoi $4(\overline{x}, \overline{y}) = (4\overline{x}, 4\overline{y}) = (\overline{0}, \overline{0})$ donc OK
Deuxième interrogation... Si ce groupe n'est pas monogène, à partir de quels gènes on le forme ? Comment ça s'écrit < > ?
Merci.
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Réponses
Quand un groupe est monogène, la graine qui les engendre est notée <a> ou Gr(a)
Pour ce groupe produit ce qui les engendre s'écrit-il ainsi <(0,1) , (1,0)> ?
Sinon yes pour la notation.
Ps : le gr c'est pas pour graine !
$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})$ n'a qu'un seul élément d'ordre 2 : $\bar{4}$.
$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ en a au moins deux : $(\bar{1},\bar{0})$ et $(\bar{0},\bar{2})$
1 - Quelque soient a,b et c , j'imagine qu'aucun groupe produit du type $(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/b\mathbb{Z}, +)$ ne peut être isomorphe à $(\mathbb{Z}/c\mathbb{Z}, +)$ puisque le premier possède 2 générateurs alors que le second est généré que par 1 seul, n'est-ce pas ?
2 - Peut-on quotienter un groupe produit comme vu ci-dessus et ainsi retrouver les 2 groupes de départ ?
Si oui, j'imagine que c'est une relation d'équivalence qui le permet, mais quelle serait-elle ?
Pour le 1), si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors le théorème chinois affirme que $\Z/a\Z\times \Z:b\Z \simeq \Z/ab\Z$ et donc cela infirme ta conjecture en prenant $c=ab$.
Ce n'est pas parce qu'un groupe est engendré par deux générateurs qu'il ne peut pas être engendré par un seul.
Par exemple : $G=\Z/3\Z\times \Z/2\Z$, d'ordre 6, est bien engendré par 2 générateurs par exemple : $(\bar 1,\bar 0)$ et $(\bar 0,\bar 1)$, mais l'élément $a=(\bar 1,\bar 1)$ est d'ordre 6 (calcule les itérés $2a, 3a, 4a, 5a, 6a$).
Donc $G$ est engendré par le seul élément $(\bar 1,\bar 1)$ d'ordre 6 et est donc isomorphe à $\Z/6\Z$.
Alain
Du coup j'ai écris les tables d'additions de $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +)$ et $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +)$ (Désolé je n'ai pas réussit à créer un tableau en LaTex)
Je suis parti de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ = {0,1,2,3,4,5} qui présente un certain ordre de rangement,
tout comme $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ = { (0,0) ; (0,1) ; (0,2) ; (1,0) ; (1,1) ; (1,2) } qui lui aussi est ordonné.
Je pensais donc que 0 correspondait à (0,0) et ainsi de suite entre les deux groupes, mais je me suis aperçu que non. Ma tables d'addition de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ est complètement en désordre.
0 --> (0,0)
1 --> (1,2) et non pas 1 -> (0,1) comme prévu
2 --> (0,1)
3 --> (1,0)
4 --> (0,2)
5 --> (1,1)
Voilà, ça n'a aucun importance mais je trouve ça étrange, y a peut-être même pas d'explication, c'est juste bizarre.
automorphisme, c'est pas quand les deux groupes sont égaux, que l'on parle d'automorphisme ?