Idéaux abéliens M_n(R)
Salut à tous, je considère $M_{n}(\mathbb{R})$ avec $n \in \mathbb{N}*$ muni de son crochet de Lie $[X, Y] = XY - YX$.
Le centre de cette algèbre est l'ensemble des homothéties.
Plus généralement est ce que tout idéal abélien est inclus dans cet ensemble je vous prie ?
Si je note $h$ un tel idéal alors si je suppose qu'il existe un élément $H$ ayant des éléments non nuls hors de la diagonale, soit $i, j$ un tel indice (de coefficient non nul dans $H$), alors on a $E_{i,j} H - H E_{ij} \in h$ avec $E_{i, j}$ la matrice nulle partout sauf en $i, j$ où elle vaut $1$. Cela me donne une matrice en "croix" j'ai essayé de l'ajouter à $h$ dans le but de voir $E_{i, j} \in h$ et ainsi montrer que
$h_{i, j}$ est nul par abélienité mais cela ne marche pas.
Le centre de cette algèbre est l'ensemble des homothéties.
Plus généralement est ce que tout idéal abélien est inclus dans cet ensemble je vous prie ?
Si je note $h$ un tel idéal alors si je suppose qu'il existe un élément $H$ ayant des éléments non nuls hors de la diagonale, soit $i, j$ un tel indice (de coefficient non nul dans $H$), alors on a $E_{i,j} H - H E_{ij} \in h$ avec $E_{i, j}$ la matrice nulle partout sauf en $i, j$ où elle vaut $1$. Cela me donne une matrice en "croix" j'ai essayé de l'ajouter à $h$ dans le but de voir $E_{i, j} \in h$ et ainsi montrer que
$h_{i, j}$ est nul par abélienité mais cela ne marche pas.
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Réponses
$MH - HM \in I$. Et abélien veut dire $\forall H, H' \in I$ $HH' - H'H = 0$.
Pardon.
Sinon centre c'est l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres.
Bref, elle se décompose comme somme de deux idéaux $\R\mathrm{id}\oplus\mathrm{sl}_n(\R)$ et à droite, c'est une algèbre de Lie simple (i.e. pas d'idéal ; exercice amusant : le montrer). La liste des idéaux abéliens en découle vite.
Ton post où tu écris "ça n'allait pas de soi" , j'ai fait un imprim-écran , et j'ai mis l'image sur mon bureau. :-D
Merci quand même de la réponse.