Vérifier une inégalité

dilemmos
dilemmos
dans Algèbre
Bonjour, je voudrais savoir si la méthode que j'ai utilisée pour prouver cette inégalité est juste. Merci.

Vérifier que : (1/(racine(n^2+1)+n)) =< 1/(2n) avec n un entier naturel non nul

Désolé je n'ai pas pu bien écrire l'inégalité étant nouveau sur le forum.
Ce que j'ai fait : Je suis parti de l'inégalité (je me demande si c'est bien faisable ) :

(1/(racine(n^2+1)+n)) =< 1/(2n)
en passant à l'inverse on a :
(racine(n^2+1)+n)>=2n
(racine(n^2+1)>=n
en élevant au carré on a :
n^2 + 1 >= n^2
1 >=0
Comme 1 est toujours supérieur ou égal à 0, donc l'inégalité est vraie.

Ma question n'est pas comment résoudre l'inégalité (parce qu’il me semble qu'en partant d'un des deux membres on peut retrouver cette inégalité) mais c'est plutôt pourquoi cette méthode est-elle fausse. Merci encore :)

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Partons de 1=2 :
    1=2 donc
    2=1 additionnons membre à membre :
    1+2=2+1
    3=3
    C'est vrai. Puis-je en déduire que 1=2 ?

    En fait, partir de la conclusion ne peut pas la démontrer. On l'a supposée vraie, donc on a admis, pas démontré.

    Par contre, tu peux parfaitement partir de "n^2 + 1 >= n^2 " pour arriver à ton inégalité.

    Cordialement.
  • dilemmos
    dilemmos
    Merci beaucoup ! :)
  • Math Coss
    Math Coss
    Je suis complètement d'accord avec ce qu'a dit Gérard. Deux remarques toutefois.

    Côté rédaction, il faut éviter d'écrire des inégalités sans les relier les unes aux autres parce qu'on laisse au lecteur la responsabilité de choisir le lien entre les différentes phrases. Gérard a pensé qu'il y avait un « donc » sous-entendu entre chaque phrase, ce qui est raisonnable bien sûr, mais c'est un implicite qu'il aurait mieux valu lever au moment d'écrire.

    Dans ce cas très précis, les différentes inégalités écrites sont en fait équivalentes les unes aux autres. On aurait pu écrire :
    Considérons l'égalité $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} \le \dfrac{1}{2n}$.

    Comme l'application de passage à l'inverse est strictement décroissante, elle est équivalente à :
    $\sqrt{n^2+1}+n\ge 2n$, c'est-à-dire à $\sqrt{n^2+1}\ge n$.

    Comme l'application d'élévation au carré est strictement croissante, elle est aussi équivalente à
    $n^2 + 1\ge n^2$, c'est-à-dire à $1 \ge0$.

    Comme 1 est toujours supérieur ou égal à 0, cette inégalité est vraie donc l'inégalité initiale est vraie aussi.

    Ceci justifie une deuxième fois l'intérêt de préciser le lien entre différentes lignes : ici, elles sont équivalentes, ce qui permet de déduire le résultat.

    NB : Ce n'est pas mieux que la présentation que propose Gérard consistant « à remonter les calculs », on peut même arguer que c'est moins bien. Mais la rédaction me semble plus naturelle dans la mesure où les manipulations consistent à simplifier les expressions, pas à les compliquer. De plus, une rédaction « en remontant » oblige plus ou moins à avoir écrit quelque part les calculs « en descendant », d'où une perte de temps plausible.

    Edit : Ajout d'un dollar.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Quand on veut démontrer un résultat, si c'est pour soi-même, on fait comme on veut. Si ça doit être lu, un minimum de politesse est que ce soit simple à lire (*). Comme dans toute rédaction, une éventuelle introduction pour dire ce qu'on va faire, et la conclusion arrivant à la fin est traditionnel.
    On peut effectivement procéder par équivalence, mais ça oblige le lecteur à vérifier 2 fois chaque étape (implication dans un sens, puis dans l'autre). Donc procéder du connu au nouveau, même si on "complique" parfois le calcul, est une bonne façon de présenter.
    Pour un exercice dont l'énoncé est donné, pas besoin d'introduction (c'est l'énoncé).

    A noter : Un grand nombre de candidats au Capes qui ne comprennent pas leurs note d'écrit peuvent trouver là une des raisons de leur faible note. Faciliter la lecture au correcteur le rend plus indulgent.
    Même chose pour l'épreuve du bac, ou les examens à la fac.

    Reste la question du temps : par expérience, je sais que chercher au brouillon avant de rédiger gagne du temps, et permet souvent de trouver. Bien évidemment, on ne rédige pas, sur le brouillon. Une fois le chemin "à l'envers" trouvé, on prend le temps de bien rédiger de façon compréhensible.

    Cordialement

    (*) c'est déjà vrai dans toute communication écrite, la difficulté des maths doit nous inciter à multiplier les précautions.
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