Isomorphisme
Bonjour,
Si $p$ est un nombre premier et $k$ un entier naturel non nul, j'aimerais savoir si l'anneau $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ est isomorphe à l'anneau produit $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times$...($k$ fois)...$\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
Une question qui n'a peut-être aucun sens pour vous, mais qui en a pour moi.
Merci beaucoup d'avance.
Si $p$ est un nombre premier et $k$ un entier naturel non nul, j'aimerais savoir si l'anneau $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ est isomorphe à l'anneau produit $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times$...($k$ fois)...$\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
Une question qui n'a peut-être aucun sens pour vous, mais qui en a pour moi.
Merci beaucoup d'avance.
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Réponses
Considérons la classe de $3$ modulo $9$ : que vaut son carré ? Est-ce que cet élément de $\Z/9\Z$ a un « homologue » dans $\Z/3\Z\times\Z/3\Z$ ?
Considérons les éléments $(0,1)$ et $(1,0)$ dans $\Z/3\Z\times\Z/3\Z$ : que valent leur carré ? Est-ce que ces éléments de $\Z/3\Z\times\Z/3\Z$ ont des « homologues » dans $\Z/9\Z$ ?
Si $\Z/ab\Z$ et $\Z/a\Z\times\Z/b\Z$ sont isomorphes (comme anneaux ou même seulement comme groupes), alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
C'était bien mon impression. Merci pour cette confirmation.
Pardon pour le dérangement, j'ai été après coup désolé que mon utilisation du mot "monoïde" soit trompeuse.