Isomorphisme

Prenons $p=3$ et $k=2$.

Considérons la classe de $3$ modulo $9$ : que vaut son carré ? Est-ce que cet élément de $\Z/9\Z$ a un « homologue » dans $\Z/3\Z\times\Z/3\Z$ ?

Considérons les éléments $(0,1)$ et $(1,0)$ dans $\Z/3\Z\times\Z/3\Z$ : que valent leur carré ? Est-ce que ces éléments de $\Z/3\Z\times\Z/3\Z$ ont des « homologues » dans $\Z/9\Z$ ?

Dans $(\mathbb Z/p \mathbb Z)^k$, tous les éléments $x$ vérifient $px=0$, tandis que c'est faux dans $\mathbb Z/p^k \mathbb Z$. Il y a déjà une différence au niveau du groupe additif sous-jacent.

@GillBill: je profite de ce fil pour donner une précision sur ton fil de l'autre jour car j'ai reçu un MP me disant que le mot "monoïde" exige dans sa définition un élément neutre. Et qu'il vaut mieux parler de magma. Donc je te disais que tout magma fini admet un idempotent et que ça résolvait ton problème. Bien évidemment, c'est "intéressant" quand on ne suppose pas d'office qu'il y a un élément neutre :-D Par exemple, dans $\Z / 44\Z$, l'ensemble des puissances de $7$ forment un magma, il y a donc une puissance $p$ de $7$ telle que $p^2=p$, c'est à dire telle que $p(1-p)=0 \pmod{44}$.

Pardon pour le dérangement, j'ai été après coup désolé que mon utilisation du mot "monoïde" soit trompeuse.