isomorphisme

Morgatte · August 2017

Bonjour

Dans une démonstration, peut-on sans plus d'explication dire que $d\mathbb{Z}/kd\mathbb{Z}$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$, ou est-ce un raccourci restant à démontrer ?

[En LaTeX, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]

christophe c · August 2017

C'est un raccourci

Poirot · August 2017

Tout dépend de si toi tu comprends pourquoi ils sont isomorphes. Au passage, je pense que tu voulais dire "isomorphe à $\mathbb Z/k \mathbb Z$".

Morgatte · August 2017

Exacte, $\mathbb Z/k \mathbb Z$

Je vois bien ce que chacun represente, et qu'ils ont le même cardinal, mais l'exprimer mathématiquement je ne sais pas.
C'est donc christophe c qui a raison... Je vais y réfléchir.

Merci.

Math Coss · August 2017

C'est un sujet récurrent.

Poirot · August 2017

C'est pourtant évident si on écrit explicitement ce qu'est $d\mathbb Z/kd \mathbb Z$. Il s'agit des classes d'équivalences de $0, d, 2d, \dots, (k-1)d$ modulo $kd$. Si on envoie la classe de $jd$ sur $j$ modulo $k$, on vérifie facilement que cette application est bien définie, et qu'elle est surjective donc injective par égalité des cardinaux. En somme, un tel isomorphisme est une simple réécriture des éléments de ton groupe/anneau, telle que les opérations soient préservées (en fait c'est toujours le cas quand on a un isomorphisme d'un telle structure).

Maxtimax · August 2017

@Poirot : on peut aussi vérifier qu'elle est bijective car sa réciproque est "classe de $j$ $\to$ classe de $dj$" :-D plutôt que d'invoquer l'égalité des cardinaux

isomorphisme

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