Polynôme qui s'annule sur la sphère unité

Oui, voici un argument très terre à terre. Pour $n=1$, c'est facile. Considérons les polynômes comme des polynômes en $X_1$ à coefficients dans $\R[X_2,\dots,X_n]$. Soit $f$ un polynôme nul sur $S^{n-1}$. Comme $g=X_1^2+(X_2^2+\cdots+X_n^2-1)$ est unitaire, on peut faire la division euclidienne de $f$ par $g$, ce qui donne un polynôme $q$ dans $\R[X_1,\dots,X_n]$ et deux polynômes $r$ et $s$ dans $\R[X_2,\dots,X_n]$ tels que
\[f(X_1,\dots,X_n)=(X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2-1)\cdot q(X_1,X_2,\dots,X_n)+X_1\cdot r(X_2,\dots,X_n)+s(X_2,\dots,X_n).\]
Pour tout $(x_2,\dots,x_n)$ dans la boule unité ouverte de $\R^{n-1}$, on pose $x_1=\sqrt{x_2^2+\cdots+x_n^2}\ne0$ et on forme deux éléments de $S^{n-1}$, à savoir $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ et $(-x_1,x_2,\dots,x_n)$. Comme $f$ et $g$ s'annulent en ces points, on en déduit que $r(x_2,\dots,x_n)=0$ et $s(x_2,\dots,x_n)=0$. La boule unité contient un pavé donc, par le paragraphe suivant, $r$ et $s$ sont nuls, c'est-à-dire que $f$ est un multiple de $X_1^2+\cdots+X_n^2-1$.

On montre que le seul polynôme nul sur un pavé est le polynôme nul par récurrence sur $d$. Pour $d=1$, c'est bien connu : le seul polynôme de $\R[X_1]$ qui s'annule sur un intervalle est le polynôme nul. Pour $d\ge2$, soit $h(X_1,\dots,X_d)=\sum_{k=0}^rX_1^k\cdot c_k(X_2,\dots,X_d)$ un polynôme nul sur un pavé, c'est-à-dire un produit d'intervalles $I_1\times\cdots\times I_r$. Par le cas $d=1$, on sait que $c_k(x_2,\dots,x_d)=0$ pour tout $(x_2,\dots,x_d)\in I_2\times \cdots\times I_d$ et tout $k$. Par hypothèse de récurrence, tous les c_k sont nuls donc $h$ est nul.

Plus généralement, pour tout polynôme irréductible $g\in \R[X_1,\ldots,X_n]$ qui change de signe sur $\R^n$, tout polynôme $f\in \R[X_1,\ldots,X_n]$ qui s'annule sur $\{g=0\}$ est divisible par $g$.

Je fais l'écho... À cause de l'exemple $X_1^2+\cdots+X_n^2$, l'hypothèse «et qui change de signe» est indispensable. Elle ne le serait pas sur $\C$.

D'accord, merci GaBuZoMeu et Math Coss.