Opérateur de projection en 1 dimension

Le "théorème 3" est une formulation du théorème spectral : toute matrice symétrique réelle admet une base orthonormée de vecteurs propres. On l'applique à la matrice $AM^{-1}$ qui est symétrique.

(Quand le produit scalaire est donné par la matrice $M$, c'est-à-dire que c'est $\R^n\times\R^n\to\R$, $(v,w)\mapsto \langle v,w\rangle=v'Mw$, l'endomorphisme $v\mapsto Av$ est symétrique pour le produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ si et seulement si pour tout $(v,w)$, on a : $\langle Av,w\rangle=\langle v,Aw\rangle$, c'est-à-dire $(Av)'Mw=v'MAw$, ce qui équivaut à $A'M=MA$ ou encore à $(AM^{-1})'=AM^{-1}$.)

Désolé, ce que je proposais en commençant par diagonaliser $AM^{-1}$ était stupide : les valeurs propres de $AM^{-1}$ et $A$ ne sont pas les mêmes en général ! (Exemple : prendre $A$ et $M$ diagonales.)

Reprenons. La relation $A'M=MA$ exprime que l'application $f_A:\R^p\to\R^p$, $x\mapsto Ax$ est symétrique pour le produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle_M:(x,y)\mapsto x'My$, qui est euclidien puisque $M$ est définie positive. Cela montre que $f_A$ possède $p$ valeurs propres réelles $\lambda_1,\dots,\lambda_p$, donc $A$ aussi puisque c'est sa matrice dans la base canonique. Soit $(v^1,\dots,v^p)$ une base orthonormée de vecteurs propres pour le produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle_M$ et soit $V$ la matrice dont la $k$-ième colonne est $v^k$ pour tout $k$.

Comme la base est orthonormée, pour $x\in\R^p$, on a : $$x=\sum_{k=1}^pv^k\langle v^k,x\rangle_M$$ (par exemple parce que la différence de ces deux vecteurs est orthogonale à tous les $v^k$ donc elle est nulle). Mais alors, $$Ax=\sum_{k=1}^p\lambda_kv^k\langle v^k,x\rangle_M=\sum_{k=1}^p\lambda_kv^k{v^k}'Mx,$$
ce qui donne $A=\sum_{k=1}^p\lambda_kv^k{v^k}'M$. Puis on vérifie que $\sum_{k=1}^p\lambda_kv^k{v^k}'M=V\Lambda V'$.

Edit : ajout d'un $M$ manquant à la fin de l'expression de $M$.