Matrice rationnelle

Krokop
Krokop
dans Algèbre
Bonjour,

Étant donné une matrice $M$ finie à coefficients rationnels.

Est-ce que la norme (peut importe a priori même si je regardais la norme d'opérateur ) de $M$ est un nombre algébrique ?

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Si $\|\cdot\|$ est une norme, $\pi\|\cdot\|$ en est une autre. Or $\|M\|$ et $\pi\|M\|$ ne sont pas tous deux des nombres algébriques.
  • Krokop
    Krokop
    Oui mais justement cela ne revient-il pas à changer la matrice $M$ en une matrice $M'$ qui n'est plus à coefficients rationnels ?
  • Poirot
    Poirot
    Math Coss ne change pas la matrice mais la norme. Comme une norme d'opérateur est associée à une norme sur l'espace vectoriel sous-jacent, cela prouve que ce que tu dis est faux en général.
  • Krokop
    Krokop
    L'argument ne me "plait" pas :D.

    Bon, c'est vrai pour la norme euclidienne. On a $\Vert M \Vert=\sqrt{\lambda_{max}(M^TM)}$, le polynôme caractéristique de $M^TM$ étant à coefficients rationnels, le résultat s'ensuit. (sauf erreur )
  • Math Coss
    Math Coss
    Même (mauvais ?) esprit : $\|M\|^2 = a_{11}^2+\pi a_{12}^2+\pi^2 a_{21}^2+\mathrm{e}a_{22}^2$ (avec des modules si on veut passer sur les complexes).
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