sous-représentation

David80 · August 2017

Bonsoir,
Si on a une représentation de

$\[ \begin{tikzcd}
1 \arrow[r,bend left,"\alpha"] \arrow[r,bend right,swap,"\beta"] & 2
\end{tikzcd}
\]$

avec $V_{1} = C^2$, $V_2 = C$ , $ f_{1} = (1 0)$ et $f_2 = (0 1)$.

Est-ce qu'il y a une méthode pour trouver toutes les sous-représentations à isomorphisme près ?
Merci !

[Le LaTeX du forum ne connaît pas tikz. En revanche on peut utiliser XY-pic. AD]

Math Coss · August 2017

Soit $(W_1,W_2)$ une sous-représentation (avec $W_i\subset V_i$) propre ($\ne (V_1,V_2)$) et non triviale.

Si $W_1=0$, alors $W_2=V_2$, ça donne bien une sous-représentation.

Si $W_1$ contient un vecteur non nul, son image par $\alpha$ ou $\beta$ n'est pas nulle donc $W_2=V_2$ (car $0<\dim W_2\le1$). Il s'agit donc de choisir une droite $W_1$ dans $V_1$ et de voir quelle est la représentation correspondante : si $W_1$ est engendrée par le vecteur $w={}^t(a,b)\in\C^2$, on a $\alpha(w)=a$ et $\beta(w)=b$ : des droites $W_1$ différentes donnent des représentations non isomorphes de dimension $(1,1)$ (un changement de base dans $W_1$ ou $W_2$ multiplie $a$ et $b$ par la même constante).