Isomorphisme de corps de fractions de groupes
Bonjour,
Permettez-moi d'abord d'introduire une notation. Lorsque $G$ est un groupe abélien sans torsion et $k$ est un corps, on dénote le corps de fractions de la $k$-algèbre intègre $k[G]$ par $k(G)$.
Ma question est la suivante. Étant donnés deux groupes abéliens sans torsion $G$ et $H$, on suppose que les corps $k(G)$ et $k(H)$ sont isomorphes (en tant que corps) pour tout corps $k$. S'ensuit-il que $G$ et $H$ sont isomorphes en tant que groupes abéliens ?
C'est une simple question de curiosité, et malgré quelques tentatives de réflexion, aucune ne m'a permis de résoudre ce problème. Auriez-vous des pistes convaincantes à proposer ?
Permettez-moi d'abord d'introduire une notation. Lorsque $G$ est un groupe abélien sans torsion et $k$ est un corps, on dénote le corps de fractions de la $k$-algèbre intègre $k[G]$ par $k(G)$.
Ma question est la suivante. Étant donnés deux groupes abéliens sans torsion $G$ et $H$, on suppose que les corps $k(G)$ et $k(H)$ sont isomorphes (en tant que corps) pour tout corps $k$. S'ensuit-il que $G$ et $H$ sont isomorphes en tant que groupes abéliens ?
C'est une simple question de curiosité, et malgré quelques tentatives de réflexion, aucune ne m'a permis de résoudre ce problème. Auriez-vous des pistes convaincantes à proposer ?
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Réponses
@GeorgeAbitbol : il me semble que c'est l'argument standard, mais je me trompe peut-être.
Edit : Mais ça ne résout pas le problème, voir plus bas.
Ici $G$ est généralement infini, en effet.
@Math Coss : bonne remarque ! Je crains que cela ne nous soit guère utile dans le cas général, toutefois.
Sinon, je ne sais pas si ce que dit Math Cross est bon... Si les scalaires de $k(G)$ sont envoyés sur autre chose que des scalaires $k(H)$, alors $k(G)$ est isomorphe à $k(H)$ en tant que $k$-algèbres, mais pour une structure de $k$-algèbre sur $k(H)$ qui est différente de celle habituelle, ce qui pourrait peut-être faire changer le degré de transcendance, non ?
D'autre part, je n'ai pas de solution au problème proposé, mais je crois bien que si $\mathbb{C}[G]$ et $\mathbb{C}[H]$ sont isomorphes en tant que $\mathbb{C}$-algèbres, alors $G$ et $H$ le sont. En effet, le groupe [EDIT : Ce n'est pas un groupe, ce qui suit est faux, voir plus bas.] multiplicatif des morphismes de ces algèbres vers $\mathbb{C}$ est isomorphe au dual de $G$ vu comme groupe abélien discret. En particulier, si $\mathbb{C}[G]$ et $\mathbb{C}[H]$ sont isomorphes en tant que $\mathbb{C}$-algèbres, alors $G$ et $H$ ont des groupes duaux isomorphes, et donc sont isomorphes, par dualité de Pontryagin.
Alors $\mathbb{C}(X)$ peut être plongé dans un corps $K$ isomorphe à $\mathbb{C}$ et donc pour un certain ensemble $S$ non vide d'éléments transcendants sur $\mathbb{C}$ et un ensemble fini $T$ (éventuellement vide) d'éléments algébriques sur $\mathbb{C}(S)$, on a $\mathbb{C} \simeq \mathbb{C}(S,T)$, de sorte que les degrés de transcendance sur $\mathbb{C}$ ne coïncident pas.
Ils coïncident cependant si on prend $k =$ un corps premier il me semble.
Je suis satisfait par l'argument avec les $\mathbb{C}$-algèbres.
(Le fait que $\mathbb{C}(X)$ se plonge dans $\mathbb{C}$ peut s'expliquer en regardant la clôture algébrique $\overline{\mathbb{C}(X)}$ de $\mathbb{C}(X)$. C'est est un corps algébriquement clos de cardinalité $2^{\aleph_0}$ et de caractéristique $0$ ; or on peut montrer qu'il n'y a (à isomorphisme près) qu'un seul corps algébriquement clos de cardinalité $\kappa$ et de caractéristique $p$, pour tout cardinal $\kappa \geq 2^{\aleph_0}$ et tout entier $p$ premier ou nul — on parle de théorie $\kappa$-catégorique.
Toutefois cela nous éloigne de ma question initiale, qui reste non résolue).
on a $\mathbb{C}[G]=\mathbb{C}[H]=\mathbb{C}^4\times M_2(\mathbb{C})$. De façon générale, la classe d'isomorphie de $\mathbb{C}[G]$ est donnée par les dimensions des représentations irréductibles du groupe $G$.
K est un corps de caractéristique quelconque. G est un groupe sans torsion.
FH = "group algebra of G over F". Je ne sais pas exactement comment traduire FH: une algèbre sur F probablement...
Alors il y a un résultat d'isomorphisme concernant les groupes non abéliens sans torsion:
Si F est un corps et G un groupe sans torsion alors FG est isomorphe à FH en tant que F-algèbre pour tout groupe H.
...
@df : merci beaucoup pour cette référence ! Toutefois, elle ne semble pas résoudre mon problème initial, puisque d'une part, il y est question de l'algèbre $k[G]$ du groupe $G$ (et non de son corps de fractions), et d'autre part seuls des isomorphismes de $k$-algèbres sont considérés (et non des isomorphismes de corps).
Notons $Char(A)$ l'ensemble des formes linéaires multiplicatives sur la $\mathbb{C}$-algèbre $A$. $Char(A)$ n'est pas un groupe, pour la multiplication point par point. C'est idiot mais c'est là que je me suis trompé. Par exemple, si $X$ est un ensemble à deux éléments, les deux caractères de l'algèbre des fonctions à valeurs complexes sur $X$ donnés par l'évaluation en les deux points sont tels que leur produit n'est pas linéaire.
Dans notre cas, l'application qui, à un morphisme de $G$ vers $\mathbb{C}^*$, associe son prolongement par linéarité, qui est un élément de $Char(\mathbb{C}[G])$, est bijective, mais pas un isomorphisme (puisqu'à droite, il n'a pas de groupe), d'où le fait annoncé par Vincent selon lequel l'algèbre d'un groupe abélien fini ne se souvient que du cardinal de son dual.
En outre, l'application qui, à un élément $a$ de l'algèbre de $G$ associe l'application sur le dual de $G$ qui envoie $\chi$ sur $\chi(a)$ est injective, et donc est un isomorphisme, d'après les dimensions, qui témoigne de l'isomorphie annoncée par Vincent.
Mille excuses pour les erreurs.
Ma question initiale reste toutefois sans réponse définitive. Je rappelle le contexte. On se fixe deux groupes abéliens sans torsion $G$ et $H$. Supposons que pour tout corps $k$, les corps $k(G)$ et $k(H)$ soient isomorphes en tant que corps. Peut-on en conclure que $G$ et $H$ sont isomorphes en tant que groupes abéliens ?