Un peu d'aide les sages svp

Bonsoir

Voilà, j'ai un polynôme $P(X)=X^4+X^2+X+1$ et sa réduction modulo 3 que l'on note $\bar{P}$. On fixe une clôture algébrique $\Omega$ de $\mathbb{F}_3$, et pour $n\ge 1$ on note $\mathbb{F}_{3^n}$ l'unique sous-corps de $\Omega$ de cardinal $3^n$.

Tout d'abord je dois montrer que $\bar{P}$ est irréductible sur $\mathbb{F}_3$.
Alors première question, sauf erreur de ma part $\bar{P}= X^4-2X^2-2X-2$, donc puis-je utiliser le critère d'Eisenstein ici ? Ou est-ce que ce critère ne s'utilise que sur $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$ ?
S'il n'est pas utilisable, sachant que c'est un polynôme de degré 4 dans $\mathbb{F}_3$, dois-je tester le produit de tous les polynômes de degré 2, puisque $\bar{P}$ n'a pas de racine dans $\mathbb{F}_3$?

Ensuite je dois prouver que $P$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$, vu que Eisenstein ne fonctionne pas, existe-t-il une méthode particulière ?

Enfin je dois prouver que $\bar{P}$ possède une racine dans $\mathbb{F_{81}}$. Ici encore existe-t-il une méthode ou un théorème qui viendrait à mon secours afin de ne pas tester les 81 valeurs ? et que $\bar{P}$ est scindé sur $\mathbb{F_{81}}$.

Merci de votre aide !!