Supplémentaire orthogonal
Bonsoir à tous,
Le théorème du supplémentaire orthogonal nous dit la chose suivante :
Soit H un espace préhilbertien réel ou complexe, et F un sous-ev complet de H. Alors il existe un (unique) supplémentaire orthogonal à F, à savoir son orthogonal.
La démonstration se fonde sur le théorème de projection orthogonale. Or la démonstration se fait dans le cas réel, quitte à poser le nouveau produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle=Re(\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb C})$ si l'on est dans le cas complexe.
Donc, dans le théorème du supplémentaire orthogonal, on considère ce nouveau produit scalaire, et non pas le produit scalaire originel. Il n'y a donc pas de théorème qui nous garantisse l'existence d'un supplémentaire orthogonal dans le cas complexe en gardant le produit scalaire complexe d'origine ?
Merci d'avance pour vos réponses.
Le théorème du supplémentaire orthogonal nous dit la chose suivante :
Soit H un espace préhilbertien réel ou complexe, et F un sous-ev complet de H. Alors il existe un (unique) supplémentaire orthogonal à F, à savoir son orthogonal.
La démonstration se fonde sur le théorème de projection orthogonale. Or la démonstration se fait dans le cas réel, quitte à poser le nouveau produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle=Re(\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb C})$ si l'on est dans le cas complexe.
Donc, dans le théorème du supplémentaire orthogonal, on considère ce nouveau produit scalaire, et non pas le produit scalaire originel. Il n'y a donc pas de théorème qui nous garantisse l'existence d'un supplémentaire orthogonal dans le cas complexe en gardant le produit scalaire complexe d'origine ?
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Réponses
La projection orthogonale sur $F$ c'est
$Px = \arg \min_{f \in F} \|x-f\|^2$ (ça veut dire "choisir le $f \in F$ qui minimise $\|x-f\|^2$)
Vérifie que l'opérateur $P : x \mapsto y$ est linéaire, que $\forall f \in F, P f = f $ et $P x \in F$ donc c'est bien la projection orthogonale sur $F$.
$I-P$ est donc aussi une projection orthogonale, sur le complémentaire $F^{\perp}$.
Soit $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb C})$ un espace préhilbertien complexe, et $F$ un sous-ev complet de $H$.
Alors $F\oplus F^\perp=H$, où $F^\perp=\{y\in H/\quad \forall x\in F,\quad Re(\langle x,y\rangle_{\mathbb C})=0\}$.
Voilà, c'est la partie réelle qui me dérange, car dans le cas complexe, on considère l'orthogonal par rapport au produit scalaire $Re(\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb C})$ et non pas $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb C}$.
J'aimerais savoir s'il y a un résultat connu pour l'orthogonal avec le produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb C}$.
En fait, il est bien connu que si $C$ est un convexe complet non vide d'un espace préhilbertien complexe $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$, alors le projecteur orthogonal de $x\in C$, noté $p_C(x)$, est caractérisé par
\[
\forall z\in C,\quad \operatorname{Re}\left(\ \langle x-p_C(x),z-p_C(x)\rangle\ \right)<0
\]
En outre, si $C$ est un espace vectoriel fermé, alors $p_C(x)$ est caractérisé par
\[
\forall z\in C,\quad \langle x-p_C(x),z\rangle=0
\]
Le fait que l'on puisse lever la partie réelle dans le cas du sous-ev fermé ne me paraissait pas du tout trivial. En voici une démonstration :
Supposons par l'absurde qu'il existe $z\in C$ non nul tel que $\langle x-p_C(x),z\rangle\neq 0$. Quitte à changer $z$ par $\frac{z}{\langle x-p_C(x),z\rangle}$ (ou son conjugué, selon la convention prise), on peut supposer $\langle x-p_C(x),z\rangle=1$.
Soit $t\in\mathbb R$. Alors
\begin{align*}
\Vert x - (p_C(x)+tz)\Vert^2&=t^2\Vert z\Vert^2+\Vert x-p_C(x)\Vert^2-2t\operatorname{Re}(\langle x-p_C(x),z\rangle)\\
&=t^2\Vert z\Vert^2+\Vert x-p_C(x)\Vert^2 - 2t
\end{align*}
Pour tout $t\in\mathbb R$, $p_C(x)+tz\in C$, donc ce polynôme du second degré ne peut prendre son unique minimum qu'en $t=0$. Or son minimum est atteint en $\frac{1}{\Vert z\Vert^2}$, d'où une contradiction.
$\langle u,v\rangle = \langle Re(u)+i \, Im(u),Re(v)+i \, Im(v) \rangle =
\langle Re(u),Re(v) \rangle+\langle Im(u),Im(v) \rangle+i \langle Im(u),Re(v) \rangle-i \langle Re(u),Im(v) \rangle$
et donc
$$(u,v) = Re(\langle u,v \rangle) = \langle Re(u),Re(v) \rangle+\langle Im(u),Im(v) \rangle$$
En clair tu es en train de regarder le produit scalaire canonique sur le $\mathbb{R}$ espace (pré) Hilbertien $Re(H) \oplus Im(H) = Re(H) \oplus Re(H)$, et d'envoyer $h \in H$ vers $(Re(h),Im(h)) \in Re(H) \oplus Re(H)$ voila c'est tout.
Et la notion de projection orthogonale reste la même que dans n'importe quel espace (pré) Hilbertien.
Enfin c'est vrai en tant que $\mathbb{R}$ espace vectoriels, mais pas en tant que $\mathbb{C}$ espaces vectoriels (comme le suggère le $H$ dans le membre de droite).