Sous-groupe à deux classes

Non. Prends $G$ un groupe cyclique d'ordre $4$ et $H$ son unique sous-groupe d'ordre $2$.

Si $G$ est un groupe abélien possédant un tel sous-groupe, alors $2G\ne G$ car pour tout $x\in G\setminus H$ on a $2x\in H$, et on a aussi évidemment $2x\in H$ pour tout $x\in H$.

Réciproquement, si $G$ est un groupe abélien tel que $2G\ne G$, alors $G/2G$ est un $\Z/2\Z$-espace vectoriel non nul, donc il existe un hyperplan $H'$. Soit $H$ son image réciproque dans $G$, alors $G/H$ est isomorphe à $\Z/2\Z$ donc $H$ convient.

La même démonstration marche. Soit $G$ le groupe additif d'un corps de caractéristique différente de $2$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ tel que $a+b\in H$ pour tous $a,b\in G\setminus H$.

Si $x\in G\setminus H$, alors $x=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\in H$. Contradiction. Donc $G=H$.