Théorème de Laguerre

Bonjour, le problème que tu poses n'est pas facile... mais voici les indications. J'espère que tu pourras suivre (car mes écritures mathématiques sont juste ce que je peux taper sur le clavier).

On part de ton inégalité en f, f' et f'' >= 0 et de l'équation différentielle en p f" + q f' + r f = 0.
On écrit f" avec q, p, r, f, et f' grâce à l'éq. diff.
On substitue dans l'inégalité f" et on obtient une équation du second degré en f' qui est >=0.
On écrit que le discriminant doit être <= 0. On obtient : 4 (n-1) p r - n q^2 >= 0.

Pour compléter le résultat du théorème 7, il faut en plus ajouter une autre inégalité à celle trouvée ci-dessus :
4 (n-1) (p q' - p' q) - 2 q^2 >=0.

On reconnaît la dérivée du rapport q/p : (q/p)' = (q p' - p q') / p^2. Donc il suffit que (p/q)' <=0. C'est vrai si (f"/f')' <=0, équation prise en alpha, la racine de f. Or pour f polynôme avec des racines réelles simples, on écrit f comme produit des (x - alpha), f' comme somme des produits, puis comme somme des f(x) / (x-alpha), et enfin f". On dérive alors pour confirmer (f"/f')<=0.
Cette partie est un peu technique car il faut écrire la dérivée de f comme la somme de f(x) / (x - alpha) en remarquant que f(x) est le produit de x-alpha sur toutes les racines alpha.
Je suggère de commencer par f(x) = (x-a) (x-b), puis f(x) = (x-a) (x-b) (x-c)... après le cas général est plus clair.

Bon courage,

Bonjour,

Oui la relation est valable pour tout x. Et ça ne marche pas... mais pas pour la raison que tu donnes car :

Si le discriminant négatif te gêne, alors réécrit l'équation que tu obtiens en faisant apparaître (x+a)² + b >= 0, et tu obtiendras la relation que j'ai indiquée. C'est de l'arithmétique pure... le fait que les coefficients ne sont pas constants ne change rien. L'équation plus haut donne b>=0 (même si b est une fonction de x, b(x)). Et f' décrit IR car c'est un polynôme de degré >=1.

La raison est que tu as mal recopiée la formule Hess(f) = (n-1)² f'² - n(n-) f f', et non pas f f".

Pour trouver le résultat, tu dois deviner un polynôme P(x) en fonction de p, q, r, y, y' puis le dériver pour obtenir P'(x), puis appliquer le Hess(P) >=0 ou Hess(P') >=0 car P(x) vérifie les conditions du théorème.

Bon courage car P(x) n'est pas si évident... ce n'est pas P(x) = q y' + r y. Comme la relation recherchée est en alpha, racine de f, alors y(alpha) = 0.