Inégalité de géométrie

Alexique · February 2015

Bonjour
Je souhaite montrer que si $a,b,c>0$ sont les côtés d'un triangle quelconque et si l'on note $p =\frac 1 2 (a+b+c)$ alors on a : $$\dfrac{(b+c)^2}{bc(p-a)}+\dfrac{(a+c)^2}{ac(p-b)}+\dfrac{(b+a)^2}{ba(p-c)} \ \leq\ \dfrac{4p^2}{3(p-a)(p-b)(p-c)} \cdot
$$ C'est en fait une réécriture du fait que si $w_a,\ w_b,\ w_c$ sont les longueurs des bissectrices issues des sommets $A,\ B,\ C$ respectivement, et si $r$ est le rayon du cercle inscrit, alors $\dfrac{1}{w_a^2}+\dfrac{1}{w_b^2}+\dfrac{1}{w_c^2} \leq \dfrac{1}{3r^2}\cdot$

Si vous aviez une preuve géométrique, j'en serais très heureux mais j'ai plutôt cherché à résoudre par le calcul donc par une inégalité classique d'algèbre (c'est pourquoi je poste ici). Je ne vois rien apparaître (Jensen, Cauchy-Schwarz, ré-ordonnancement...). En somme, la seule hypothèse que l'on a sur $a,\ b,\ c$ est l'inégalité triangulaire que je ne parviens pas à exploiter dans ce membre symétrique en $a,\ b,\ c$ ...

Voilà, si vous avez des idées, merci...

pldx1 · February 2015

Bonjour.

The simpler, the better. On suppose $c\leq b\leq a$, on pose $a=b+x$, $b=c+y$ et on calcule $droite-gauche$.

Cordialement, Pierre.

Alexique · February 2015

Heu, vous envisagez de tout mettre au même dénominateur ?... Pas très simple, si ?...Et on substitue a et b de telle sorte qu'il ne reste que du x, du y et du c ?

zephir · February 2015

Bonsoir,
@Alexique : Oui ce que dit Pierre (que je salue) marche, mais il faut calculer un peu.

Alexique · February 2015

Alors, il y en a quelque chose qui m'échappe... Vous avez peut-être oublié de mentionner qu'il fallait calculer intelligemment :-D 39579

Alexique · February 2015

Bon, j'ai un peu de mal à mener les calculs (ça doit marcher, mais je ne sais pas quand développer/factoriser, quand utiliser les inégalités $0 \leq x \leq c$ et $0 \leq y \leq a$...

Sans mutinerie de ma part, j'ai essayé de poser $x=b+c-a, y=a+c-b, z=a+b-c$ qui impose seulement $x,y,z>0$ conformément aux méthodes présentées ici (page 44). Je demande à Maple de tout développer et j'obtiens une expression avec des + partout donc comme les variables sont toutes positives, j'ai mon résultat (par Maple ce qui est décevant).

Si Maintenant je pose $S:=x+y+z, \sigma:=xy+yz+xz, P:=xyz$, je dois montrer que la quantité $$8 S^2 \prod_{cyc} (S-x) - 3\sum_{cyc} \dfrac{1}{x}(S+x)^2P(S-x)$$ est positive ou encore $$5S^3\sigma-5S^2P-6\sigma P$$ est positive après calcul (à la main). Avec des inégalités du document-c joint, je m'en sors même si elles ne sont pas nécessaires (d'après Maple). Je ne demande pas à ce que l'on revérifie tout ça (c'est très pénible).

Question : comment mener les calculs que suggèrent Pierre ou ceux que je suggère sans artifice ? Il ne s'agit pas de développer bêtement comme le fait Maple...Il y a forcément quelque chose que j'ai raté...J'aimerais juste pouvoir conclure comme un lycéen pourrait le faire quoi (un très bon lycéen on est d'accord, enfin j'espère pour moi :-D) 39613

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