Ensemble de mesures !
Bonsoir :
Soit $\ (E,\mathcal{E}) $ un espace mesurable .
Est ce que l'ensemble des mesures sur $\ (E,\mathcal{E}) $ est un espace vectoriel ? ( On le notera : $\ \Omega $ ) Est ce qu'il est normé ? Est ce qu'il est complet ? Quelle topologie convenable mettre sur cet espace ?.
Soit $\ (f_{n})_{n \geq 0} $ une suite fonctions mesurables $\ \geq 1 $.
Est ce que l'application suivante est linéaire :
$\ \varphi : \Omega \longrightarrow \Omega $
$\ \mu_{n} \longrightarrow \mu_{n+1} = \varphi (\mu_{n}) = f_{n+1} \bullet \mu_{n} = \int f_{n+1}. d \mu_{n} $
Merci d'avance de vote aide !!
Soit $\ (E,\mathcal{E}) $ un espace mesurable .
Est ce que l'ensemble des mesures sur $\ (E,\mathcal{E}) $ est un espace vectoriel ? ( On le notera : $\ \Omega $ ) Est ce qu'il est normé ? Est ce qu'il est complet ? Quelle topologie convenable mettre sur cet espace ?.
Soit $\ (f_{n})_{n \geq 0} $ une suite fonctions mesurables $\ \geq 1 $.
Est ce que l'application suivante est linéaire :
$\ \varphi : \Omega \longrightarrow \Omega $
$\ \mu_{n} \longrightarrow \mu_{n+1} = \varphi (\mu_{n}) = f_{n+1} \bullet \mu_{n} = \int f_{n+1}. d \mu_{n} $
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Réponses
-
J'ai posé $\ (f_{n})_{n} $ une suite de fonctions superieurs à $\ 1 $, pour que la suite des mesures $\ (\mu_{n})_{n \geq 0} $ soit croissante !! et donc la $\ \mu = \displaystyle \lim_{n} \mu_{n} $ est une mesure !! Je sais pas s'il sera utile par la suite ... mais pour voir après si la fonction $\ \varphi $ admet un point fixe ..!! voilà .. !
Merci d'avance de votre aide !!
Il est où "gb" , ça fait longtemps qu'il vient pas ici sur ce forum !! :-( -
Sérieusement Pablo, ne le prends pas mal mais si tu pouvois te calmer sur les points d'exclamation et les guillemets, ça serait plus reposant pour tout le monde.
A priori l'espace des mesures sur $\Omega$ n'est pas un espace vectoriel (comment définir $\mu-\nu$ ?). C'est plutôt un cône convexe, un espace où on peut additionner les éléments entre eux et les multiplier par des réels positifs. Et en particulier si $\mu$ est une mesure, $\alpha$ un réel positif et $f,g$ deux fonctions mesurables positives, alors $(\alpha f +g) \bullet \mu=\alpha \cdot f \bullet \mu + g \bullet \mu$.
Je n'ai rien compris à ton énoncé, ni ce que tu entends par "point fixe" de $f_{n+1}$ (puisque les $f_n$ vont de $\Omega$ vers $\R$). -
Regarde maintenant !!
-
Allons messire egoroff, il n'y a pas que les probas dans la vie ! (Oups, un point d'exclamation !). Toutes les mesures ne sont pas positives, et tant mieux, comme ça le cône convexe ci-dessus est inclus dans le bon vieil espace vectoriel des mesures réelles (noté ${\cal M}(E)$, évitons $\Omega$ dans le contexte). Par contre, je ne connaissais pas la notation du gros point noir pour l'intégrale...
Pablo : on ne voit plus rien. -
Bonsoir Pablo,
gb est ici.
Je vais prendre le contrepied d'egoroff, tout en étant parfaitement d'accord avec lui.
Si tu entends par $\Omega$ l'ensemble des mesures réelles (resp. complexes) sur $(E,\mathcal{E})$, il devrait t'être facile de vérifier si les axiomes d'espace vectoriel réel (resp. complexe) sont satisfaits.
Deuxième point : tout espace vectoriel est normable, et il existe une infinité de normes...
Est-ce qu'il est complet : cela dépend de la norme choisie.
Quelle topologie convenable mettre sur cet ensemble : tout dépend ce que l'on veut faire, chaque topologie est convenable pour quelque chose, mais ce quelque chose est souvent totalement inutile...
Il me semble que tu poses les questions à l'envers et que tu devrais raisonner ainsi :
Quelle est la situation à étudier ?
Qu'est ce ce qui serait intéressant comme propriétés topologiques ?
Peut-on vraiment définir une topologie qui convienne à la situation ?
Cette topologie est-elle normable ?
L'espace est-il complet ?
etc...
Je te renvoie à une réponse déjà donné par le trop bon egoroff sur le forum \url{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,403706,403730#msg-403730}
Enfin, pour l'application linéaire : là aussi la vérification de la linéarité ne dépasse normalement pas le niveau de L1...
gb -
Salut,
Alors messire remarque déjà je connais les mesures signées (nous aussi on connaît Radon-Nikodym) et pour ta gouvernante le gros point noir $f \bullet \mu$ c'est pour la mesure de densité $f$ par rapport à $\mu$ : $d(f \bullet \mu)=f \,d\mu$.
N'empêche que je ne savais pas que les mesures (générales) formaient un espace vectoriel. Comment on fait pour définir $(\mu-\nu)(A)$ si $\mu(A)=\nu(A)=+\infty$ ? -
Bonjour,
Je ne fais que traduire les deux messages.
N'ayant pas compris la définition de la fonction $\varphi$ ni ce que serait un éventuel point fixe, ni comment la suite des mesures serait convergente, je n'apporte rien.
A la limite je peux répondre à la dernière question.
Bonsoir :
Soit $(E,\mathcal{E})$ un espace mesurable .
Est ce que l'ensemble des mesures sur $(E,\mathcal{E}) $ est un espace vectoriel ? ( On le notera : $\Omega $ ) Est ce qu'il est normé ? Est ce qu'il est complet ? Quelle topologie convenable mettre sur cet espace ?
Soit $(f_{n})_{n \geq 0} $ une suite fonctions mesurables $\geq 1 $.
Est ce que l'application suivante est linéaire :
$\begin{cases}
\varphi : \Omega \longrightarrow \Omega \\
\mu_{n} \longrightarrow \mu_{n+1} = \varphi (\mu_{n}) = f_{n+1} \bullet \mu_{n} = \int f_{n+1}. d \mu_{n}
\end{cases}$
Merci d'avance de vote aide !!
J'ai posé $(f_{n})_{n} $ une suite de fonctions superieurs à $1 $, pour que la suite des mesures $\ (\mu_{n})_{n \geq 0} $ soit croissante !!
et donc la $\displaystyle{\mu = \lim_{n} \mu_{n} }$ est une mesure !!
Je sais pas s'il sera utile par la suite ... mais pour voir après si la fonction $\varphi $ admet un point fixe ..!! voilà .. !
Merci d'avance de votre aide !!
Il est où "gb" , ça fait longtemps qu'il vient pas ici sur ce forum !! -
Et bien on ne fait pas, puisqu'il ne s'agit pas de mesures réelles.
Sinon, sans blagues ! Le gros point noir existe ! Génial ! Bon ok, ok, j'arrête les points d'exclamation. -
Bah alors si messire "gb" et messire "remarque" sont tous deux contre "moi" je m'incline "bien bas" !! oui non !! ou pas !! je sais pas !!! (j'imite qui ?)
Par "mesure réelle" on entend "mesure signée" et pas "mesure positive", maintenant que je le dis ça me paraît tout à fait logique. N'empêche que si je puis me permettre, le message initial de Pablo parlait uniquement de "mesure" sans plus de précisions -
egoroff,
Il me semble que seules les mesures positives sont autorisées à prendre $\infty$ comme valeur, qu'une mesure réelle $\mu$ s'écrit comme différence de mesures positives $\mu^+ - \mu^-$ par le théorème de décomposition de Hahn, etc...
pour Pablo (et egoroff...),
Dans la deuxième édition de {\it Real and complex analysis} de Rudin, au paragraphe 6.5, p. 127-128, je puis lire :
{\it The collection of all complex measures on $\mathfrak{M}$ is thus a vector space. If we put}
$$\Vert \mu \Vert = \vert \mu \vert(X)$$
{\it it is easy to verify that all axioms of a normed linear space are satisfied.} -
Maintenant que je me suis bien imprégné de la signification du gros point noir (merci egoroff), pour que l'application $\varphi$ associée à une fonction $f$ soit définie sur ${\cal M}(E)$, il va quand même falloir que $f$ soit $L^1$ par rapport à toute mesure $\mu$. C'est le cas par exemple si $f$ est bornée, mais on peut avoir des doutes si $f$ n'est pas bornée.
Dans ce cas, on a bien affaire à une application linéaire $\varphi(\mu)=f\bullet\mu$ de ${\cal M}(E)$ dans lui-même, qui m'a l'air continue pour la variation totale. Et la suite $\mu_n$ est simplement donnée par $f_n\bullet f_{n-1}\bullet\cdots\bullet f_1\bullet\mu_0$, c'est-à-dire sans gros points la mesure de densité $f_nf_{n-1}\cdots f_1\,d\mu_0$, non ? -
Oui merci gb j'ai compris trop tard mon erreur. Pourtant remarque et toi aviez bien pris la précaution de préciser "réelles", et j'ai persisté à lire "positives'. Effectivement la variation totale permet de définir une norme qui donne la convergence "forte" des mesures.
Cela dit je persiste à penser que Pablo parle de mesures positives, et je n'ai toujours pas compris en quoi consistait son exo. -
D'accord avec toi remarque. Maintenant moi j'ai plutôt envie de regarder l'application $\varphi \, : \ , f \mapsto f \bullet \mu$ de $L^1(\mu)$ dans $\mathcal{M}(E)$ vu que dans l'exo $\mu$ a l'air fixée et on considère plusieurs $f$. Ca a l'air linéaire continu (fortement), injectif... Si la réciproque était continue ça serait sympa, on pourrait identifier $L^1(\mu)$ au sous-espace des mesures absolument continues par rapport à $\mu$, je ne sais pas si c'est utile. En tous cas $\varphi$ est positive.
-
remarque Écrivait:
> Dans ce cas, on a bien affaire à une application
> linéaire $\varphi(\mu)=f\bullet\mu$ de ${\cal
> M}(E)$ dans lui-même ..
"remarque" , comment tu as fait pour monter que $\ \varphi $ est linéaire ? moi j'ai essayé plusieurs fois en vain !!
Merci d'avance !! -
Bonjour Pablo,
egoroff t'as déjà répondu :
\fbox{\parbox{10cm}{Et en particulier si $ \mu$ est une mesure, $ \alpha$ un réel positif et $ f,g$ deux fonctions mesurables positives, alors \\
$$(\alpha f +g) \bullet \mu = \alpha \cdot f \bullet \mu + g \bullet \mu.$$}}
dans cette réponse, "mesure" signifie "mesure positive", mais il est facile de transposer... -
non par rapport à $\ \mu $ et non pas par rapport à $\ f $ ... ! transposer comment ?
-
En $f \bullet (\alpha \mu + \nu) = \alpha \cdot (f \bullet \mu) + (f \bullet \nu)$
-
"gb" , Tu peux me dire stp comment on monte ça :
$\ \int f d (\alpha . \mu + \nu) = \alpha . \int f d \mu + \int f d \nu $
$\ \mu $ et $\ \nu $ sont des fonctions d'ensembles ( des mesures ), et non pas des fonctions mesurables ...!! non ..? -
On en revient tuojours au même point : utiliser les définitions !!
Qulle est celle de $\mu + \nu$ ? celle de $\alpha \mu$ ? celle de $f \bullet \mu$ ?
Tout cela en termes de fonctions d'ensemble bien évidemment. -
Salut "gb" :
On a : $\ ( \alpha . \mu + \nu ) (A) = \alpha .\mu(A) + \nu(A) = \int_{A} d(\alpha .\mu + \nu) = \alpha . \int_{A} d \mu + \int_{A} d \nu $ ( parceque $\ \mu $ et $\ \nu $ sont des mesures )
Donc :
$\ \int_{A} d(\alpha .\mu + \nu) = \alpha . \int_{A} d \mu + \int_{A} d \nu $
$\ f \bullet \mu = \int f .d \mu $
Mais je sais pas comment arriver à : $\ \int f d (\alpha . \mu + \nu) = \alpha . \int f d \mu + \int f d \nu $ ?
:-(
Il y'a peut être quelques choses qui manque dans mon cours, je ne sais pas ..
Tout ce que j'ai appris c'est que $\ \nu (A ) = \int f d \mu $ est une mesure et que $\ \int g . d \nu = \int f.g .d \mu $
Merci d'avance de votre aide !! -
Il suffit de réécrire ta définition
$\int_A d(\mu + \nu) = \int_A d\mu + \int_A d\nu$
sous la forme
$\int_E 1_A \,d(\mu + \nu) = \int_E 1_A \,d\mu + \int_E 1_A\,d\nu$
pour montrer, en passant par les fonctions étagées, que
$\int_E f \,d(\mu + \nu) = \int_E f \,d\mu + \int_E f\,d\nu$. -
"gb" :
Est ce que cette ecriture a un sens :
$\ d \nu = f . d \mu $.
J'ai vu ça peut etre dans les formes differentielles, si je me rappelle bien !! !! mais je sais pas si c'est la même chose ici !! -
Ah oui, tu as raison !! merci "gb" !! donc tout un travail à faire !! c'est pas immediat !!
-
Oui, si $\vu = f \bullet \mu$, alors, comme l'a déjà écrit egoroff, $d(f \bullet \mu) = f d\mu$.
C'est ce que tu as écrit : $\int g.d \nu = \int f.g.d\mu$. -
"gb" , l'ensemble des mesures finies est un espace vectoriel .. ! il verifie les axiomes d'un espace vectoriel !!
-
Alors :
$ 1^{er} $ cas : $ f = 1_{A} $
$\displaystyle \int f \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) = \int 1_{A} \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) = \alpha. \int 1_{A} \mathrm d \mu + \int 1_{A} \mathrm d \nu = \alpha. \int f \mathrm d \mu + \int f \mathrm d \nu $.
$ 2^{eme} $ cas : $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}. 1_{A_{i}} $.
\begin{align*}
\int f \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) &= \int \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}. 1_{A_{i}} \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) \\
&= \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}. \int 1_{A} \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) \\
&= \alpha. \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \int 1_{A} \mathrm d \mu + \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} . \int 1_{A} \mathrm d \nu \\
&= \alpha. \int \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} 1_{A} \mathrm d \mu + \int \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} . 1_{A} \mathrm d \nu \\
&= \alpha. \int f \mathrm d \mu + \int f \mathrm d \nu \end{align*}
$ 3^{eme} $ cas : $ f $ positive mesurable.
$ \exists (\varphi_{n})_{n \geq 0} $ une suite croissante de fonctions étagées convergente vers $ f $.
D'après Beppo Levi :
\begin{align*} \int f \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) &= \lim_{n} \int \varphi_{n} \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) \\
&= \alpha . \lim_{n} \int \varphi_{n} \mathrm d \mu + \lim_{n} \int \varphi_{n} \mathrm d \nu \\
&= \alpha . \displaystyle_{n} \int f \mathrm d \mu + \lim_{n} \int f \mathrm d \nu \end{align*}
$ 3^{eme} $ cas : $ f $ quelconque. $ f = f^{+} - f^{-} $
\begin{align*}
\int f \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) &= \int f^{+} - f^{-} \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) \\
&= \int f^{+} \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) - \int f^{-} \mathrm d( \alpha . \mu + \nu ) \\
&= \alpha . \int f^{+} \mathrm d\mu + \int f^{+} \mathrm d\nu - \alpha . \int f^{-} \mathrm d\mu - \int f^{-} \mathrm d \nu \\
&= \alpha . \lim_{n} \int f \mathrm d \mu + \lim_{n} \int f \mathrm d \nu \end{align*}
D'où le résultat !!
Merci beaucoup "gb" ! -
En fait tout le début de ton énoncé est immédiat, il suffit d'écrire les choses, et on s'aperçoit que tout fonctionne à merveille.
Il subsiste que personne n'a vraiment compris ce quil fallait faire de la suite des $\mu_n$, et ce que venait faire une question de point fixe dans l'histoire de ces mesures... -
"gb" :
Pour ce qui est du point fixe :
Si $ \varphi $ est continue :
D'abord, on a une suite récurrente qui s'écrit : $ u_{n+1} = f(u_{n}) $ .. Si $ u_{n} $ converge, cela ne peut être que vers un point fixe de $ f $ ... Non ?! -
Latex ne marche pas bien aujourd'hui !! :)o
[Effectivement, je ne peux pas me connecter au forum en ce moment AD -
Maintenant que l'on a mis au point la structure d'espace vectoriel de $\Omega$, son caractère normé par la variation totale, la linéarité de l'application $\begin{array}{cc} \varphi\ : & \Omega \to \Omega \\ ~ & \mu \mapsto f \bullet \mu \end{array}$, survient un problème de notations.
Ce qui est noté $\varphi$ ci-dessus, dépend de la fonction $f$, et devrais être noté $\varphi_f$.
Avec cette notation, ta suite est définie par $\mu_{n+1} = f_{n+1} \bullet \mu_n = \varphi_{f_{n+1}}(\mu_n)$. Je ne vois pas de quelle application la limite éventuelle pourrait être un point fixe... -
Oui, tu as raison "gb" , à chaque itération $\ \varphi_{f_{n+1}} $ varie ( l'application change ) !!
Merci "gb" !! -
Par définition de la mesure $\alpha\mu+\nu$, c'est vrai lorsque $f$ est la fonction indicatrice d'un ensemble. Par linéarité, c'est vrai lorsque $f$ est étagée. Par densité, c'est vrai lorsque $f$ est mesurable bornée...
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