Dirichlet : formulation variationnelle
bonsoir
dans le cadre de mon tipe, dont le titre est "Processus aléatoires et problème de Dirichlet", et qui est donc pour l'instant purement probabiliste, je veux faire un peu de calcul différentiel, histoire de montrer que je sais faire autre chose...
De plus, cela donne un côté physique à la chose, ce qui ne sera pas pour déplaire aux examinateurs je pense.
J'ai donc trouvé une démo de l'existence et de l'unicité de la solution au problème de Dirichlet s'appuyant sur des arguments d'analyse "classique" mais je voudrais savoir si elle est juste et aussi compléter des morceaux.
Soit $D$ un ouvert connexe de ${\R}^d$ et $V_0$ une fonction continue sur $\partial D$.
Posons $E = C^1(\bar{D},\R)$, $A = \lbrace V\in C^1(\bar{D},\R)| V_{|\partial D} = V_0\rbrace$
et $H = \lbrace V\in C^1(\bar{D},\R)| V_{|\partial D} = 0\rbrace$.
On munit $E$ du produit scalaire $(u|v) = \int_{\partial D} uv + \int_D (\nabla u|\nabla v)$ et de la norme associée.
$\to$ Point à eclaircir : $E$ est-il complet muni de cette norme?
Je pense que oui et que la preuve qui rend $L^2$ complet fonctionne encore...
En le supposant, on remarque que $A$, s'il est non vide (point à éclaircir aussi!), est un convexe fermé pour cette norme.
Il admet donc un unique élement de norme minimale $V_1$ . (d'après le théorème de projection)
Or cette norme vaut $\int_{\partial D} V_1^2 + \int_D ||\nabla V_1 ||^2$ et donc c'est l'unique élément qui rend la deuxième intégrale minimale, puisque la première est constante.
Alors, en différenciant $E: V\to \int_D ||\nabla V||^2$, (dans $A$), on tombe sur $dE_V(h) = \int_D (\nabla V|\nabla h)$.
SI le domaine $D$ est une partie simple, une intégration par parties permet d'obtenir $dE_V(h) = \int_D h\Delta V$.
Or $V_1$ est un minimum, intérieur à $A$ et donc $dE_{V_1}$ est nulle ce qui donne $\Delta V_1 = 0$ sur $D$.
merci de me donner vos avis
le poulpe
dans le cadre de mon tipe, dont le titre est "Processus aléatoires et problème de Dirichlet", et qui est donc pour l'instant purement probabiliste, je veux faire un peu de calcul différentiel, histoire de montrer que je sais faire autre chose...
De plus, cela donne un côté physique à la chose, ce qui ne sera pas pour déplaire aux examinateurs je pense.
J'ai donc trouvé une démo de l'existence et de l'unicité de la solution au problème de Dirichlet s'appuyant sur des arguments d'analyse "classique" mais je voudrais savoir si elle est juste et aussi compléter des morceaux.
Soit $D$ un ouvert connexe de ${\R}^d$ et $V_0$ une fonction continue sur $\partial D$.
Posons $E = C^1(\bar{D},\R)$, $A = \lbrace V\in C^1(\bar{D},\R)| V_{|\partial D} = V_0\rbrace$
et $H = \lbrace V\in C^1(\bar{D},\R)| V_{|\partial D} = 0\rbrace$.
On munit $E$ du produit scalaire $(u|v) = \int_{\partial D} uv + \int_D (\nabla u|\nabla v)$ et de la norme associée.
$\to$ Point à eclaircir : $E$ est-il complet muni de cette norme?
Je pense que oui et que la preuve qui rend $L^2$ complet fonctionne encore...
En le supposant, on remarque que $A$, s'il est non vide (point à éclaircir aussi!), est un convexe fermé pour cette norme.
Il admet donc un unique élement de norme minimale $V_1$ . (d'après le théorème de projection)
Or cette norme vaut $\int_{\partial D} V_1^2 + \int_D ||\nabla V_1 ||^2$ et donc c'est l'unique élément qui rend la deuxième intégrale minimale, puisque la première est constante.
Alors, en différenciant $E: V\to \int_D ||\nabla V||^2$, (dans $A$), on tombe sur $dE_V(h) = \int_D (\nabla V|\nabla h)$.
SI le domaine $D$ est une partie simple, une intégration par parties permet d'obtenir $dE_V(h) = \int_D h\Delta V$.
Or $V_1$ est un minimum, intérieur à $A$ et donc $dE_{V_1}$ est nulle ce qui donne $\Delta V_1 = 0$ sur $D$.
merci de me donner vos avis
le poulpe
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Réponses
Prends par exemple la fonction $|x|$ sur $[-1,1]$, elle n'est évidemment pas $C^1$, mais elle est limite d'une suite de fonctions de $E$.
Je te dirais bien que c'est pas grave, y a qu'à définir $H^1$, mais vu qu'il parait qu'à l'agrég c'est mal vu, ça doit franchement pas être conseillé à l'oral d'un concours de prépa, aussi prestigieux soit il.
comment je fais alors?
c'est pas mon tipe, c'est juste une partie optionnelle
n'empêche, j'aimerais bien qu'on me dise en gros si je peux présenter un truc convenable la dessus
il faut quand meme faire attention: tu parles du bord , et il faut il faut un peu de régularité (prends une boule ou 1 bord C°°!)...tu utilises la formule de green je crois(dis que tu l'admets sous cette forme sinon quand le terme de boerd n'est pas nul...)
sinon rien ne t'empeche de calculer les solutions explicitement avec des fonctions de green pour le laplacien...dans les conditions de dirichlet
en fait ça ne me donne rien du tout vu que pour l'unicité, c'est plus simple d'utiliser le principe du maximum
en matière de terme de Bord, il est toujours nul sur mon espace de fonctions
ps : merci
Du coup on montre avec ca que Q est d'interieur vide sans trop de difficulte il me semble (je suis d'accord pour dire que ca sert a rien mais ce fait plaisir d'avoir une demo qui tient en 3 lignes pour un truc qui me parait pas evident)
en même temps la densité des irrationnels suffit
ou la non-dénombrabilité d'un intervalle
mais dans le premier cas il faut prendre des epsilons pénibles et dans l'autre une diagonale de Cantor...
ps : à centrale maths 1 je me faisais tellement ch** que je l'ai calée en fin de copie...