Proba : E(X) pour la loi géométrique

flo1 · May 2006

Bonjour,

Comment fait-on pour calculer l'espérance mathématique pour la loi géométrique ?
Soit plus explicitement comment calculer la série suivante :
\begin{equation}
E(X) = \sum_{k=1}^{+\infty} p (1-p)^{k-1}\;k
\end{equation}
avec $0\le p \le1$ bien entendu.

A part ça est-ce que l'un d'entre vous connaîtrais un bon formulaire mathématique disponible sur le net ?

Merci d'avance !

Aleg · May 2006

pour une loi géométrique sur $\N^{*}$, de paramètre $p\in ]0;1[$, l'espérance est
$$E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty }\,kpq^{k-1}$$
(avec $q=1-p$).
En dérivant terme à terme l'égalité connue (ce qui est licite puisqu'on est dans le disque de convergence)
$$\sum_{k=0}^{+\infty }\,q^k=\frac{1}{1-q}$$
on obtient
$$\sum_{k=1}^{+\infty }\,kq^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$$
et il en résulte $E(X)=1/p$.

Crou! · May 2006

Salut,

Tu dois pouvoir t'en tirer en utilisant la dérivation de séries entières (i.e. en utilisation la série de terme général $\sum (1-p)^k$).

Aleg · May 2006

pour un formulaire, voir par exemple
<BR><a href=" http://www.bibmath.net/formulaire/index.php3"> http://www.bibmath.net/formulaire/index.php3</a><BR>

ptitloupfouchou · May 2006

c'est la dérivée de

$\displaystyle \newline E(X) = \sum_{k=0}^{+\infty} p (1-p)^{k}\; \newline$

(par rapport a p)

qui est facile a calculer

çà te donne un truc style

\frac{1}{p} me semble nan ?

Crou! · May 2006

... l'utilisation de cette méthode est un grand classique pour le calcul de l'espérance de la loi géométrique, je crois que ça se voit rien qu'en comptant le nombre de posts qui se sont croisés.

Ajoutons quelque chose de constructif (enfin, un peu): n'oublie pas de traiter à part les cas (qui ne posent pas de problème) p=0 ou 1...

flo1 · May 2006

Merci !

Proba : E(X) pour la loi géométrique

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