Inégalité récalcitrante
dans Les-mathématiques
Salut,
J'avais planché il y a quelques temps sur cet exo :
Soit $X_{1},\,\dots,\,X_{k},\,\dots$ des variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$. Soit $N$ une variable aléatoire indépendante des variables aléatoires de Bernoulli précédentes suivant une loi de Poisson de paramètre entier $n\geq 1$. Pour tout entier $k\geq 1$, on pose $S_{k}=X_{1}+...+X_{k}$. On définit de plus $S_{0 =0$.
1. Calculer la loi de la variable aléatoire $S_{N}$.
2. Vérifier que $E\left( S_{N}-S_{n}\right)=0$.
3. Etablir que $E\left( \left( S_{N}-S_{n}\right)^{2}\right)
\ine\sqrt{n}p\left(1-p\right) $.
4. En déduire que pour tout $\varepsilon>0$ et tout
$\alpha\in\left]0,\, 3/4 \right[ $
$$\lim_{n\rightarrow\ip}P\left( n^{\alpha}\left\vert \frac{S_{N}}{n}
-\frac{S_{n}}{n}\right\vert \geq\varepsilon\right)=0$$
Pour le 1. et 2. pas de problème. On trouve que $S_N$ suit une loi de Poisson de paramètre $np$. En revanche je ne vois pas du tout comment faire le 3. A l'époque j'avais tout essayé, mais en vain et j'en étais venu à penser que cette inégalité était fausse. Mais peut-être que quelque chose m'échappe...
Merci de m'éclairer, Michal
J'avais planché il y a quelques temps sur cet exo :
Soit $X_{1},\,\dots,\,X_{k},\,\dots$ des variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$. Soit $N$ une variable aléatoire indépendante des variables aléatoires de Bernoulli précédentes suivant une loi de Poisson de paramètre entier $n\geq 1$. Pour tout entier $k\geq 1$, on pose $S_{k}=X_{1}+...+X_{k}$. On définit de plus $S_{0 =0$.
1. Calculer la loi de la variable aléatoire $S_{N}$.
2. Vérifier que $E\left( S_{N}-S_{n}\right)=0$.
3. Etablir que $E\left( \left( S_{N}-S_{n}\right)^{2}\right)
\ine\sqrt{n}p\left(1-p\right) $.
4. En déduire que pour tout $\varepsilon>0$ et tout
$\alpha\in\left]0,\, 3/4 \right[ $
$$\lim_{n\rightarrow\ip}P\left( n^{\alpha}\left\vert \frac{S_{N}}{n}
-\frac{S_{n}}{n}\right\vert \geq\varepsilon\right)=0$$
Pour le 1. et 2. pas de problème. On trouve que $S_N$ suit une loi de Poisson de paramètre $np$. En revanche je ne vois pas du tout comment faire le 3. A l'époque j'avais tout essayé, mais en vain et j'en étais venu à penser que cette inégalité était fausse. Mais peut-être que quelque chose m'échappe...
Merci de m'éclairer, Michal
Réponses
-
Bizarre, on ne voit rien...
-
Mais c'est déjà très beau comme ça...
-
Salut
J'avais planché il y a quelques temps sur cet exo :
Soit $X_{1},\ldots, X_{k},\ldots$ des variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p$. Soit $N$ une variable aléatoire indépendante des variables aléatoires de Bernoulli précédentes suivant une loi de Poisson de paramètre entier $n\geq 1$. Pour tout entier $k\geq 1$, on pose $S_{k}=X_{1}+\ldots+X_{k}$. On définit de plus $S_0 =0$.
1. Calculer la loi de la variable aléatoire $S_{N}$.
2. Vérifier que $E\left( S_{N}-S_{n}\right)=0$.
3. Etablir que $E\left( \left( S_{N}-S_{n}\right)^{2}\right) =p\sqrt{n}\left(1-p\right) $.
4. En déduire que pour tout $\varepsilon>0$ et tout $\alpha\in\left] 0, \frac{3}{4} \right[ $
$$\lim_{n\to\infty}P\left( n^{\alpha}\left\vert \frac{S_{N}}{n}
-\frac{S_{n}}{n}\right\vert \geq\varepsilon\right)=0
$$ ==> Pour le 1. et 2. pas de problème. On trouve que $S_N$ suit une loi de Poisson de paramètre $np$. En revanche je ne vois pas du tout comment faire le 3. A l'époque j'avais tout essayé, mais en vain et j'en étais venu à penser que cette inégalité était fausse. Mais peut-être que quelque chose m'échappe...
Merci de m'éclairer, Michal -
L'inégalité de 3. c'est en fait :
$$$E\left( \left( S_{N}-S_{n}\right)^{2}\right)
\leq\sqrt{n}\,p\left(1-p\right) $$ -
Salut,
Pas trop le temps de regarder cela car je suis au bureau, mais à vue de nez, on simplifie le problème en écrivant:
$E[(S_N - S_n)^2] = E[{S_N}^2 + {S_n}^2 - 2 S_n (S_N - S_n + S_n)]$
On connaît $E[{S_N}^2], E[{S_n}^2]$ et on se sert de l'indépendance de
$(S_N - S_n)$ par rapport à $\sigma(S_n)$
Et ensuite, on regarde $E[(S_N - S_n)]$ pour chaque valeur possible de $N$. Désolé de ne pouvoir proposer mieux pour l'instant.
All -
AD : effectivement tu n'étais pas réveillé...
[Michal : pour ne pas mourrir idiot, quelle est la différence ? AD] -
Je crois que j'y ai été un peu rapidement. Si $(S_N - S_n)^2$ était indépendant de $\sigma(S_n)$, alors on ne pourrait pas avoir d'inégalité avec $sqrt{n}$.
Il vaut peut-être mieux écrire directement:
$E[(S_N - S_n)^2] = \sum_{k \geq n}E[(S_k - S_n)^2 1_{(N=k)}]$
Je vais y réfléchir ce soir.
All -
Je crois que j'y ai été un peu rapidement. Si $(S_N - S_n)^2$ était indépendant de $\sigma(S_n)$, alors on ne pourrait pas avoir d'inégalité avec $\sqrt{n}$.
Il vaut peut-être mieux écrire directement:
$E[(S_N - S_n)^2] = \sum_{k \geq n}E[(S_k - S_n)^2 1_{(N=k)}]$
Je vais y réfléchir ce soir.
All -
Bonjour Alain,
C'est le signe égal qui est devenu une inégalité.
Amitiés,
All
[Ah oui, merci, je ne suis donc pas encore réveillé. AD] -
J'ai un peu réfléchi sur le 3).
Je n'ai pas su finir, mais peut-être qu'avec des équivalents bien choisis on peut terminer tout cela.
$E[(S_N - S_n)^2] = \sum_{k \geq n}E[S_k - S_n)^2 1_(N=k)]$
$= \sum_{k \geq n}E[S_k - S_n)^2]E[1_(N=k)]$ par indépendance
$= \sum_{k \geq n}E[S_k - S_n)^2]P(N=k)$
$= \sum_{k \geq n}e^{-np} \frac{(np)^k}{k!} E[S_k - S_n)^2]$
$= \sum_{i \geq 0}e^{-np} \frac{(np)^{i+n}}{(i+n)!} E[{S_i}^2]$
$= e^{-np}(np)^n \sum_{i \geq 0} \frac{(np)^i}}{(i+n)!} E[{S_i}^2]$
$= e^{-np}(np)^n \sum_{i \geq 0} \frac{(np)^i}}{(i+n)!}ip(1-p+ip)$
Je ne vois pas comment aller plus loin mais j'espère que ça aide un peu,
All -
Dans mon post du 25/04 18:23, j'ai dit une bêtise. $(S_N - S_n)^2$ est évidemment indépendante de $S_n$.
Le $n$, paramètre de la loi de Poisson porte à confusion.
All -
J'avais commencé le calcul quand tu (=michal) n'avais pas corrigé l'énoncé donc avec l'égalité. Il y a qq termes que je n'arrivais pas à simplifier (j'avais pas essayé de majorer).
Ceci dit, All, pourquoi écartes les $k1$).
Je sais bien que cette espérance se retrouve aussi dans le terme $(N=2n-1)$ (ou un truc du genre), mais la proba associée n'est pas la même, je me trompe (la loi de Poisson n'est pas symétrique autour de sa moyenne) ?
Crou! -
Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt... Je reprends ton calcul All, mais en tenant compte des termes <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="43" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img1.png" ALT="$ k<n$"></SPAN>. Ca donne :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="319" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img2.png" ALT="$\displaystyle E[(S_N - S_n)^2]=\sum_{k \geq 0}E[(S_k - S_n)^2]\,P(N=k)$"></DIV><P></P>
Je calcule <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="100" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img3.png" ALT="$ E[(S_k - S_n)^2]$"></SPAN>. Comme <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="71" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img4.png" ALT="$ (S_k - S_n)$"></SPAN> suit une loi binomiale (au signe près), avec la formule de Koenig, je trouve :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="320" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img5.png" ALT="$\displaystyle E[(S_k - S_n)^2]=\vert n-k\vert\,p(1-p)+(n-k)^2\,p^2$"></DIV><P></P>
Alors :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="438" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img6.png" ALT="$\displaystyle E[(S_N - S_n)^2]=\sum_{k \geq 0}\left[\vert n-k\vert\,p(1-p)+(n-k)^2\,p^2\right]\,P(N=k)$"></DIV><P></P>
soit
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="518" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img7.png" ALT="$\displaystyle E[(S_N - S_n)^2]=p(1-p)\sum_{k \geq 0}\vert n-k\vert\,P(N=k)+p^2\sum_{k \geq 0}(n-k)^2\,P(N=k)$"></DIV><P></P>
soit encore
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="377" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img8.png" ALT="$\displaystyle E[(S_N - S_n)^2]=p(1-p)E(\vert n-N\vert)+p^2E[(n-N)^2]$"></DIV><P></P>
J'arrive à traiter le deuxième terme :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="377" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img9.png" ALT="$\displaystyle E[(n-N)^2]=V(n-N)+(E(n-N))^2=V(N)=n$"></DIV><P></P>
mais pas le premier. Est-ce que quelqu'un voit ce que l'on peut dire de sensé sur <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="80" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img10.png" ALT="$ E(\vert n-N\vert)$"></SPAN> ?<BR> -
En fait $V(N)=np$...
-
Si un gentil modérateur pouvait effacer mon dernier message, puisque $V(N)=n$... Merci
-
Je me réponds moi-même... Comme $E(X)\leq E(X^2)^{1/2}$, alors $E(|n-N|)\leq \sqrt{n}$, donc :
$$E((n-N)^2)\leq p(1-p)\sqrt{n}+p^2\,n$$
Le deuxième terme a dû être oublié dans l'énoncé. Il est probable alors que la question 4 soit fausse. -
ça parait pas mal tout ça ! Reste à vérifier si cette nouvelle inégalité permet de vérifier la dernière question (ça sent l'inégalité de Tchebitcheff), étant donné qu'on a une majoration moins bonne que prévue.
Crou!
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img1.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img1.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img2.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img2.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img3.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img3.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img4.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img4.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img5.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img5.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img6.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img6.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img7.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img7.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img8.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img8.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img9.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img9.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img10.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/27/86175/cv/img10.png"){kind=link}
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 20
+12 Invités