factorisation d'un polynôme

CRi1
CRi1
dans Les-mathématiques
On considère le polynôme à coefficients réels
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="284" HEIGHT="39" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84921/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle P=3X^4-4\sqrt{3} X^3 + 14 X^2 + 4\sqrt{3}X + 3 $"></DIV><P></P>
<B>a)</B> Déterminez deux polynômes <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="76" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84919/cv/img2.png&quot; ALT="$ A \in \mathbb{R}_{2} [X]$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="77" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84919/cv/img3.png&quot; ALT="$ B \in \mathbb{R}_{1} [X]$"></SPAN> tels que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="95" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84919/cv/img4.png&quot; ALT="$ P=A^2 + B^2$"></SPAN>
<BR><B>b)</B> En déduire la factorisation de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84919/cv/img5.png&quot; ALT="$ P$"></SPAN> en produit de polynômes irréductibles sur <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84919/cv/img6.png&quot; ALT="$ \mathbb{R}$"></SPAN>
<BR>(si l on n'a pas su répondre à la question précédente rien n'empêche d'employer une autre méthode pour répondre à celle-ci)
<BR>
<BR>Je n'y arrive vraiment pas, je me retrouve avec des équations impossibles à résoudre alors si quelqu'un avait la solution ou même une autre façon de factoriser <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/04/13/84919/cv/img5.png&quot; ALT="$ P$"></SPAN> ca serait très gentil.
<BR>
<BR>[J'ai modifié ton message pour le rendre plus "lisible". Si mes modifications ne sont pas correctes, fais le savoir sur ce topic, je modiferai en fonction de tes indications. md.]<BR>

Réponses

  • guiguiche
    guiguiche
    Compte tenu des degrés de A et B, je pense que:
    $A^{2}=3X^{4}-4\sqrt{3}X^{3}+...$
    De cela, tu dois pouvoir obtenir beaucoup de renseignement sur A qui est de degré 2.
  • michael
    michael
    on considere le polynome a coefficients reels $P = 3 X^4 - 4 \sqrt{3}X^3 + 14X^2 + 4\sqrt{3}X+3$

    {\bf a)} determinez deux polynomes $A \in \R_{2} [X]$ et $B \in \R_{1} [X]$ tels que $P=A^2 + B^2$
    {\bf b)} en deduire la factorisation de $P$ en produit de polynomes irréductibles sur $\R$
    (si l on n a pas su repondre a la question precedente rien n empeche d employer une autre methode pour repondre a celle ci)

    Je n'y arrive vraiment pas, je me retrouve avec des équations impossibles à résoudre alors si quelqu'un avait la solution ou même une autre façon de factoriser $P$ ca serait très gentil.

    [J'ai modifié ton message pour le rendre plus "lisible". Si mes modifications ne sont pas correctes, fais le savoir sur ce topic, je modiferais en fonction de tes indications. md.]
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    On considère le polynôme à coefficients réels $$ P=3X^4-4\sqrt{3} X^3 + 14 X^2 + 4\sqrt{3}X + 3 $$ a) Déterminez deux polynômes $A \in \R_2[X],\ B \in \R_1[X]$ tels que $P=A²+B²$
    b) En déduire la factorisation de $P$ en produit de polynômes irréductibles sur $\R$
    [si l'on n'a pas su répondre à la question précédente rien n'empêche d'employer une autre méthode pour répondre à celle-ci ]

    Je n'y arrive vraiment pas je me retrouve avec des équations impossibles à résoudre alors si quelqu'un avait la solution ou même une autre façon de factoriser $P$ ça serait très gentil.
  • CRi1
    CRi1
    j ai esssaye de identifier les coefficients mais je n y arrive pas j arrive a ds calculs de bourrins

    et qu est ce que tu veu dire par info sur A
  • jean Lismonde0
    jean Lismonde0
    bonsoir

    en regroupant les termes symétriques on tombe sur:

    3(x^4)+1)-4xrac(3).(x²-1)+14x²=0

    en posant X=x-1/x on obtient l'équation en X :

    3X² - 4X.rac(3) + 20 = 0 dont les racines complexes sont

    X1=2(1+i)rac(3)/3 et X2=2(1-i)rac(3)/3

    ton polynôme s'écrit alors (x²-x.X1-1)(x²-x.X2-1)=0

    on peut résoudre en x et donc factoriser le polynôme


    cordialement
  • guiguiche
    guiguiche
    Dans P, seuls les termes de degré 3 et 4 concernent A² puisque B est de degré 1. En écrivant A sous la forme aX²+bX+c, on doit bien obtenir la valeur de quelques coefficients, non ?
  • CRi1
    CRi1
    Très bien mais donc vous ne passez pas par A et B ce qui ne résout pas entièrement mon problème
  • CRi1
    CRi1
    oui on peut trouver quelque coefficient mais je tombe sur 3 equa a trois inconnus que je n arrive pas a resoudre
  • guiguiche
    guiguiche
    Je trouve simplement que $a=\pm\sqrt{3}$ et $b=\mp2$. Je n'ai pas cherché pour $c$.
  • CRi1
    CRi1
    oui mais le probleme cest c d et e
  • paulo0
    paulo0
    Bonsoir,

    Sauf erreur(s) de calcul :

    $P=(\dfrac{x^2}{\sqrt{3}}+2x+\sqrt{3})^2+8x^2(\dfrac{x}{\sqrt{3}}-1)^2$

    Cordialement,

    Paul
  • paulo0
    paulo0
    Evidemment, je n'avais pas vu les conditions sur les degrés...

    Cordialement,

    Paul
  • paulo0
    paulo0
    Bon, en même temps :

    $P=(\sqrt(3)x^2-2x-\sqrt(3))^2+(4x)^2$

    Cordialement,

    Paul
  • paulo0
    paulo0
    Arf, il est tard pour le Latex :

    $P=(\sqrt{3}x^2-2x-\sqrt{3})^2+(4x)^2$,

    décomposition obtenue en "reconnaissant" le développement du premier carré (il y a des $\sqrt{3]$ partout, ça met sur la piste).

    Cordialement,

    Paul
  • paulo0
    paulo0
    De pire en pire pour le Latex (si un modo passe dans le coin...) :

    $P=(\sqrt{3}x^2-2x-\sqrt{3})^2+(4x)^2$,

    décomposition obtenue en "reconnaissant" le développement du premier carré (il y a des $\sqrt{3}$ partout, ça met sur la piste).

    Cordialement,

    Paul
  • Le Furet
    Le Furet
    Y'avait pas plutôt moyen de l'écrire sous la forme $A^2 - B^2$ ? Ca semblerait plus pratique pour la deuxième question...
  • CRi1
    CRi1
    oui a partir de ca on va trouver une factorisation en complexe ca ne semble pas un peu bizarre
  • CRi1
    CRi1
    j ai rereesaye et je trouve une facorisation sur C et non sur R
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir Cri

    Une fois que tu as une factorisation sur $\C$, comme les 4 racines sont 2 à 2 conjuguées, tu recomposes les facteurs des racines conjuguées pour obtenir la factorisation dans $\R$
    Ainsi, partant de $ P=\left(\sqrt{3}x^2-2x-\sqrt{3}\right)^2+(4x)^2 = A²+B²$.
    Tu factorises dans $\C : (A+iB)(A-iB) = (\sqrt{3}x^2-2x(1+2i)-\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}x^2-2x(1-2i)-\sqrt{3})$
    Chaque facteur est polynôme du 2ème degré ayant chacun 2 racines complexes, qu'on détermine par la méthode classique.
    Pour le 1er facteur $\Delta = 4(1+2i)²+4.3=16i = \left(\pm2\sqrt{2}(1+i)\right)²$.
    Pareillement pour le 2ème facteur.
    On trouve les racines : $\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(1+i\sqrt{2})\ ;\ \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(1+i\sqrt{2})\ ;\ \frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(1-i\sqrt{2})\ ;\ \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(1-i\sqrt{2}) $
    On regroupe les racine conjuguées (elles ont même module) et on élimine les $\sqrt{3}$ au dénominateur : $$ P = \left(\sqrt{3}x²-2(1+\sqrt{2})x+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})²\right) \cdot \left(\sqrt{3}x²-2(1-\sqrt{2})x+\sqrt{3}(1-\sqrt{2})²\right) $$ Alain
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