[MPSI] Groupe abélien

Il me semble que tu a plutot$(xzx^{-1})^3=xz^3x^-1$

Je ne vois pas pourquoi G devrait être abélien. Prenons le groupe fini formé des matrices de la forme suivante (groupe d'ordre 8): $$\left(\begin{array}{cc}
\epsilon_1 & 0 \\ 0 & \epsilon_2
\end{array}\right)$$ et $$\left(\begin{array}{cc}
0&\epsilon_1 \\ \epsilon_2 &0
\end{array}\right)$$
avec $\epsilon_i\in\{-1;1\}$.

On peut vérifier (j'espère ne pas avoir fait d'erreur de calcul...) que ce groupe n'est pas abélien et pourtant $x\mapsto x^3$ est surjectif.

plus précisément (A*B)^3=
0 -1
1 0

et A^3*B^3=
0 1
-1 0

Salut,

Comme l'a écrit la_bas_si_j_y_suis, on a : $(xzx^{-1})^3 = xz^3x^{-1}$

En effet : $(xzx^{-1})^3 = (xzx^{-1})(xzx^{-1})(xzx^{-1})=xz(x^{-1}x)z(x^{-1}x)zx^{-1}=xz^3x^{-1}$

Sinon, en écrivant $(xzx^{-1})^3=x^3z^3x^{-3}$, on utilise le fait que le groupe est abélien (or c'est ce qu'on veut démontrer).
A moins que quelque chose ne m'échappe.

michaël.

<!--latex-->Ce problème a déjà été résolu sur ce forum :
<BR>
<BR>Voir mon message du 10-04-04 à 13.35 h
<a href = "http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=101375&t=100324#reply_101375"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=101375&t=100324#reply_101375 </a>
<BR>Cordialement,
<BR>Michiel Vermeulen

L'image d'un produit est le produit des images, c'est la définition d'un morphisme de groupe.

Voici un copier coller du message de Michiel :
vous pouvez trouver le fil complet à : \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=101375&t=100324#reply_101375}

---

[...]
Voici les solutions aux 2 problemes (Bourbaki?) que vous avez formulé.

1) Soit G un groupe et f: x--->x^3 un homomorphisme. Prouvez:
a) f surjective ===> G est commutative
[...]

Demonstration:

(x.y.(x^(-1))^3 = x^3.y^3.x^(-3) puisque f est un homomorphisme
Mais on a aussi terme à gauche= x.y^3.x^(-1)
Donc: x^3.y^3.x^(-3)=x.y^3.x^(-1)
Donc apres simplification: x^2.y^3=y^3.x^2, c.a.d les carrés commutent avec les cubes (*)

a) f est surjective, donc chaque element de G peut etre ecrit comme un cube, donc les carrés commutent avenc tous les elements de G grace à (*), donc en particulier les carrés commutent "entre eux":

On a (x.y)^3=x^3.y^3, puisque f est un homomorphisme
donc x.y.x.y.x.y=x.x.x.y.y.y
donc y.x.y.x=x.x.y.y
donc y.x.y.x=y.y.x.x puisque les carrés commutent
donc x.y=y.x donc G est commutative

[...]

Cordialement, Michiel

comme je te l'avais déjà signalé on a aussi $(xzx^{-1})^3=xz^3x^{-1}$ ce qui donne l'égalité $x^3z^3x^{-3}=xz^3x^{-1}$ soit en simplifiant $y=x^2yx^{-2}$ (avec y=z^3) de la tu dois arriver en multpliant par $x$ et $x^{-1}$ à l'égalité $xy=yx$

$f(xzx^{-1})=f(x)f(z)f(x^{-1}) c'est à dire (xzx^{-1})^3=x^3z^3x^{-3}$

$ f(xzx^{-1})=f(x)f(z)f(x^{-1})$ c'est à dire $(xzx^{-1})^3=x^3z^3x^{-3}$

Hello,

Il y a une preuve rapide de ce resultat.
Comme $x \mapsto x^3$ est un morphisme de groupes, on a:
$x^3 y^3=(xy)^3$, d'ou en simplifiant $x^2y^2=(yx)^2$.
Donc $x \mapsto x^2$ est un anti-automorphisme de groupes, et par suite $x \mapsto x^4$ est un automorphisme de groupes. Par le meme calcul que precedemment, on en deduit que $x \mapsto x^3$ est un anti-automorphisme de groupes. Mais c'est aussi un automorphisme, donc son image, egale a $G$ lui-meme par hypothese de surjectivite, est abelienne, cqfd.

a+

AG.

Hello,

Il y a une preuve rapide de ce resultat.
Comme $x \mapsto x^3$ est un morphisme de groupes, on a:
$x^3 y^3=(xy)^3$, d'ou en simplifiant $x^2y^2=(yx)^2$.
Donc $x \mapsto x^2$ est un anti-automorphisme de groupes, et par suite $x \mapsto x^4$ est un automorphisme de groupes. Par le meme calcul que precedemment, on en deduit que $x \mapsto x^3$ est un anti-automorphisme de groupes. Mais c'est aussi un automorphisme, donc son image, egale a $G$ lui-meme par hypothese de surjectivite, est abelienne, cqfd.

a+

AG.

Pour Bati:

Soient G et H des groupes.

Une application f: G---->H est un anti-morphisme si pour tous les x,y dans G on a f(x.y)=f(y).f(x)

Michiel

Pour Michiel:

effectivement, ce n'est qu'un anti-morphisme....

amicalement,

AG.

Salut,

C'était juste pour dire que j'avais même pas vu la mention de $f$ morphisme dans l'énoncé alors forcément, avec mon message j'ai l'air con. Prochaine fois, je lis en détail, le topic avant de répondre, promis

Bonne fin de semaine à vous.

michaël.