Matrice

Bonjour,

On note

I = \[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

la matrice identité de taille 3.
Soient E le Rev de dimension 3.
$B = (e1, e2, e3)$ est une base de E et f un endomorphisme de E tel que :

$A = mat_B (f)$ = \[
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 4 \\
3 & -4 & 12 \\
1 & -2 & 5 \\
\end{pmatrix}
\]

1. f est-il un automorphisme de E ?

$det (A) = ... = 0.$
f n'est pas un automorphimse de E.


2. Trouver une base de Ker f et une base de Im f.

$AX = 0$
D'où 3 équations :
$2x + 4z = 0$
$3x - 4y + 12z = 0$
$x - 2y + 5z = 0$

$x = -2 \alpha$
$y = 3/2 \alpha$
$z = \alpha$

Base de Ker f = (-4, 3, 2).

Base de Im f :
$f(e_1), f(e_2), f(e_3)$ engendrent Im f car $det f = 0$
$f(e_1), f(e_2)$ indépendants => base de Im f.


Equation du plan Im f :

V (x, y, z).

$det(V, f(e_1), f(e_2) = 0$
$-7x + 2y - 4z = 0$


4. Montrer que Im f + Ker f = E (+ entouré).

$dim Imf + dim Ker f = dim E$
et (-4, 3, 2) ne vérifie pas l'équation du plan Im f.


5. Calculer la matrice B de la projection p sur Im f dans la direction
Ker f.
là par contre..

6. Calculer MA.