Série divergente.

clotho...0 · March 2006

Bonjour,

Une question que je me pose au regard d'une correction en analyse.

Comment feriez-vous pour exploiter "concrétement" sous forme de proposition avec quantificateurs la divergence d'une série à termes positifs $\sum_{k=0}^{\infty}u_k$ ?

La première idée qui vous vienne à l'esprit, et la plus naturelle si possible. C'est pour comparer avec ce qu'ils me proposent.

Merci,
Cordialement,

Clotho.

bisam · March 2006

Pourquoi s'embêter avec des quantificateurs : pour une série à termes positifs, la seule façon de diverger est de tendre vers plus l'infini en croissant... C'est tout de même assez restrictif. On peut donc l'utiliser en disant qu'en sommant suffisamment de termes, on peut passer au-dessus de n'importe quel réel positif.

Matteï · March 2006

Je n'aurais pas mieux répondu

Utilisateur anonyme · March 2006

.

racinedecheveux · March 2006

Bonjour!
On peut aussi utiliser A une condition necessaire de convergence, et ecrire non A:
$lim n\longrightarrow \infty u_n \neq 0$
que l'on peut bien sur ecrire avec des quantificateurs;
d'ailleurs une question que je me suis pose:
si:
$\exists N, \forall n\geq N, u_n=l$
Ne peut on pas couper la serie en deux, en calculant la premiere serie, puis en ecrivant le reste où chaque terme vaut l? puisque la serie evidemment diverge, mais on peut calculer le debut et se separer de la serie à partir du moment où chaque terme vaut l.
Y a t'il une denomination pour ce genre de cas?

amicalement

Utilisateur anonyme · March 2006

{\bf On peut aussi utiliser A une condition necessaire de convergence, et ecrire non A:\\
$lim n\longrightarrow \infty u_n \neq 0$}

faire bien attention: ceci est une conditionsufficante de divergence pas une condition nécessaire.
En présence d'une série divergente (même à termes positifs), on ne peut pas affirmer que $$\lim\limits{ n\rightarrow \infty} u_n \neq 0$de manière générale (pensez à la série harmonique).

roger

Utilisateur anonyme · March 2006

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clotho...0 · March 2006

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses, et surtout à Roger qui a répondu dans le sens que je souhaitais. Autrement dit, si je comprends bien : les sommes partielles d'une série divergente ne sont pas majorées?

Pour Bisam : je garde ton interprétation d'une série divergente en mémoire. Cela me fait penser un peu au caractère archimédien de R.

Cordialement,

Clotho

GLaG · March 2006

Roger et Bisam l'ont précisé, attention à ne pas l'oublier dans le dernier énoncé : cela n'est valable que pour les séries à termes positifs.
Sinon, la série de terme général (-1)^n est divergente, mais ses sommes partielles valent 0 ou 1 et en particulier sont bornées.

racinedecheuveux : ce ne sont pas simplement les sommes partielles, ce que tu veux considérer ?

Nouveau_ici · March 2006

Si la série est a terme positif, la suite des sommes partielles est croissante, donc convergente si et seulement si elle est majorée (Th de terminale S si je ne me trompe pas

)

Guimauve0 · March 2006

C'est faux si la série est à termes rationnels par exemple.

Guego0 · March 2006

"Th de terminale S si je ne me trompe pâs"

Tu te trompes : c'est bac+1

guiguiche · March 2006

Je crois quand même que c'est un résultat vu en terminale S.

Guimauve: c'est quoi cette histoire avec les rationnels ? (cela ne converge pas dans Q?)

Nouveau_ici · March 2006

Je parlais de convergence dans R, ensuite dans Q ca ne marche pas de la meme facon c'est sûr.

En terminale S on apprend qu'une suite croissante et non majorée tend vers + l'infini, et une suite croissante et majorée converge, c'était de cela que je parlais (pour justifier que la suite des sommes partielles converge si et seulement si elle est majorée).

racinedecheveux · March 2006

Bonjour!
Vu ton niveau roger, j'ai verifie, et bien sur j'avais tort;
donc je vais redire:
"Pour qu'une serie $\sum_{}^{} u_n$ à valeur dans E soit convergente, il est necessaire (mais non suffisant) que
$lim n\longrightarrow \infty u_n=0$" (nouveau precis Breal, p 62, MP)
avec E un K-espace vectoriel norme
on peut montrer la divergence d'une serie en montrant que la limite de la suite ne tend pas vers 0 (et dans ce cas c'est une condition suffisante de divergence); d'ailleurs est-ce que la negation d'une condition necessaire est une condition suffisante, et la negation d'une condition suffisante est une condition necessaire? ou il faut voir au cas par cas?
Donc je vais en profiter pour reposer ma question:
si:
$\exists N, \forall n\geq N, u_n=l$
Ne peut on pas couper la serie en deux, en calculant la premiere serie, puis en ecrivant le reste où chaque terme vaut l? puisque la serie evidemment diverge, mais on peut calculer le debut et se separer de la serie à partir du moment où chaque terme vaut l.
Y a t'il une denomination pour ce genre de cas?

amicalement

desole d'avoir repondu avec une erreur; merci roger pour la correction.

racinedecheveux · March 2006

Bonjour!
Je fais remonter le topic; pour eviter de refaire un sujet,en esperant qu'on reponde à mes deux questions..
merci d'avance

amicalement

clotho...0 · March 2006

Salut Racine de cheveux,

On a $(P)\Rightarrow(Q)$ qui signifie que d'une part que $(P)$ est une condition suffisante de $(Q)$, et d'autre part que $(Q)$ est une condition nécessaire de $(P)$. Maintenant si tu nies cette implication , tu obtiens:

$(NonQ)\Rightarrow(NonP)$. Donc $(NonQ)$ devient à son tour une condition suffisante de $(NonP)$.

Pour ta question sur la divergence d'une série à termes positifs, on énonce que si $lim_{n\longrightarrow\infty}u_n=l$ avec $l\neq0$ alors la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement.

Cordialement,

Série divergente.

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Bonjour!

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