diagonalisation prepa hec eco

J'ai mis dans le titres prepa hec eco car, je vais poser des questions sur des techniques que je n'ai vu qu'en prepa hec.

Voilà, tout d'abord les matrices semblables ont les mêmes valeurs propres et les matrices équivalentes pas forcement .
Déjà est-ce que c'est correct ? Ou alors c'est déjà faux ?

En prepa hec, les éleves forment la matrice M-XI et en faisant des operations sur les lignes ils obtiennent une matrice equivalente trigonale.
Et ensuite ils concluent en trouvant les valeurs de x pour que un des termes diagonal soit nul.
Quel est le raisonnement mathematiques qui permet de conclure ?
Que l'équivalence de matrice conserve le rang ?


Merci d'avance !